Question

在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，CD是斜邊AB上的高，點(diǎn)E在斜邊AB上，過點(diǎn)E作直線與△ABC的直角邊相交于點(diǎn)F，設(shè)AE=x，△AEF的面積為y。
（1）求線段AD的長；
（2）若EF⊥AB，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上移動時，
①求y與x的函數(shù)關(guān)系式（寫出自變量x的取值范圍）；
②當(dāng)x取何值時，y有最大值？并求其最大值；
（3）若F在直角邊AC上（點(diǎn)F與A、C兩點(diǎn)均不重合），點(diǎn)E在斜邊AB上移動，試問：是否存在直線EF將△ABC的周長和面積同時平分？若存在直線EF，求出x的值；若不存在直線EF，請說明理由。

Answer 1

解：（1）∵AC=3，BC=4
∴AB=5
∵AC·BC=AB·CD，
∴CD=，AD=；
（2）①當(dāng)0＜x≤時
∵EF∥CD
∴△AEF∽△ADC
∴
即EF=x
∴y=·x·x=
當(dāng)＜x≤5時
易得△BEF∽△BDC，同理可求EF=（5-x）
∴y=·x·（5-x）=≤
②當(dāng)0＜x≤時，y隨x的增大而增大，
，即當(dāng)x=時，y最大值為
當(dāng)＜x≤5時，
∵
∴當(dāng)時，y的最大值為
∵＜
∴當(dāng)時，y的最大值為；
（3）假設(shè)存在 當(dāng)0＜x≤5時，AF=6-x
∴0＜6-x＜3
∴3＜x＜6
∴3＜x≤5
作FG⊥AB與點(diǎn)G 由△AFG∽△ACD可得
∴，即FG=
∴x·=
∴=3，即2x²-12x+5=0
解之得，
∵3＜x₁≤5
∴x₁=符合題意
∵x₂=＜3
∴x₂不合題意，應(yīng)舍去
∴存在這樣的直線EF，此時，x=。