Question

13．如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B是函數(shù)y=$\frac{9\sqrt{2}}{x}$（x＞0）的圖象上的兩點(diǎn)，過A作AC⊥y軸于C，若AB⊥OA，且△OAB與△ACO相似，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$）．

Answer 1

分析 根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到∠AOC=∠BOA，得到OA是∠BOC的平分線，延長BA交y軸于D，過B作BE⊥y軸于E，得到AC∥BE，設(shè)A（a，$\frac{9\sqrt{2}}{a}$），根據(jù)射影定理得到CD=$\frac{{a}^{3}}{9\sqrt{2}}$，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到B（2a，$\frac{9\sqrt{2}}{a}$-$\frac{{a}^{3}}{9\sqrt{2}}$），列方程即可得到結(jié)論．

解答 解：∵△OAB∽△ACO，
∴∠AOC=∠BOA，
∴OA是∠BOC的平分線，
延長BA交y軸于D，過B作BE⊥y軸于E，
∵AC⊥OC，
∴AC∥BE，
∵AB⊥OA，
∴AB=AD，
設(shè)A（a，$\frac{9\sqrt{2}}{a}$），
∴AC²=CD•OA，
∴CD=$\frac{{a}^{3}}{9\sqrt{2}}$，
∴CE=CD=$\frac{{a}^{3}}{9\sqrt{2}}$，
∴OE=$\frac{9\sqrt{2}}{a}$-$\frac{{a}^{3}}{9\sqrt{2}}$，
BE=2AC=2a，
∴B（2a，$\frac{9\sqrt{2}}{a}$-$\frac{{a}^{3}}{9\sqrt{2}}$），
∴2a（$\frac{9\sqrt{2}}{a}$-$\frac{{a}^{3}}{9\sqrt{2}}$）=9$\sqrt{2}$，
解得：a=3，（負(fù)值舍去），
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$）．
故答案為：（6，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$）．

點(diǎn)評 本題考查了相似三角形的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，射影定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．