Question

在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（2，1）、B（4，2），坐標(biāo)原點(diǎn)為O點(diǎn)．
（1）在y軸上有一動(dòng)點(diǎn)C，求當(dāng)AC+BC最小時(shí)，C點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）在直線y=x上有一動(dòng)點(diǎn)D，求當(dāng)AD+BD最小時(shí)，D點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在x軸上有兩個(gè)點(diǎn)E（m，0）、F（m+1，0），求當(dāng)四邊形CEFD周長(zhǎng)最小時(shí)，m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問題,坐標(biāo)與圖形性質(zhì)

專題：

分析：（1）作A點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B，交y軸于C，此時(shí)AC=A′C，則AC+BC=A′C+BC=A′B，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知A′B就是AC+BC的最小值，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得直線A′B的解析式，進(jìn)而求得C的坐標(biāo)；
（2）作A點(diǎn)關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)A″，連接A″B，交直線y=x于D，此時(shí)AD=DA″，則AD+BD=DA″+BD=A″B，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知A″B就是AD+BD的最小值，然后根據(jù)A″（1，2），B（4，2）的坐標(biāo)判定D的縱坐標(biāo)為2，代入y=x即可求得；
（3）作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C′，則C′的坐標(biāo)為（0，-

4

3

），把C′向右平移1個(gè)單位得到點(diǎn)D'（1，-

4

3

），連接DD′，與x軸交于點(diǎn)F，根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)得出C′E=CE，然后證得四邊形C′D′FE為平行四邊形，則C′E=D′F，得出CE=D′F，從而得出CE+DF=DD′，此時(shí)CE+DF最小，而CD與EF的長(zhǎng)一定，所以此時(shí)四邊形CEFD周長(zhǎng)最短．設(shè)直線DD′的解析式為y=k′x+n，根據(jù)待定系數(shù)法求得直線DD′的解析式，即可求得m的值．

解答：解：（1）如圖1，作A點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B，交y軸于C，
∴AC=A′C，
∴AC+BC=A′C+BC=A′B，
根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知A′B就是AC+BC的最小值，
∵點(diǎn)A（2，1），
∴A′（-2，1），
∵B（4，2），
設(shè)直線A′B的解析式為y=kx+b，
∴

-2k+b=1 4k+b=2

，
解得

k= 1 6 b= 4 3

．
∴直線A′B的解析式為y=

1

6

x+

4

3

，
∴C（0，

4

3

）；
（2）如圖2，作A點(diǎn)關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)A″，連接A″B，交直線y=x于D，
∴AD=DA″，
∴AD+BD=DA″+BD=A″B，
根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知A″B就是AD+BD的最小值，
∵點(diǎn)A（2，1），
∴A″（1，2），
∵B（4，2），
∴直線BA″∥x軸，
∴y=2，
代入y=x中得x=2，
∴D（2，2）；
（3）作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C′，則C′的坐標(biāo)為（0，-

4

3

），把C′向右平移1個(gè)單位得到點(diǎn)D'（1，-

4

3

），連接DD′，與x軸交于點(diǎn)F，如圖3，
∴C′E=CE，
又∵點(diǎn)E（m，0）、F（m+1，0），
∴EF=1，
∴C′D′∥EF，
∴四邊形C′D′FE為平行四邊形，
∴C′E=D′F，
∴CE=D′F，
∴CE+DF=DD′，此時(shí)CE+DF最小，
而CD與EF的長(zhǎng)一定，
∴此時(shí)四邊形CEFD周長(zhǎng)最短．
設(shè)直線DD′的解析式為y=k′x+n，
把D（2，2）、D′（1，-

4

3

）分別代入得

2k′+n=2 k′+n=- 4 3

，
解得k′=

10

3

，n=-

14

3

，
∴直線DD′的解析式為y=

10

3

x-

14

3

，
令y=0，則

10

3

x-

14

3

=0，
解得x=

7

5

，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（

7

5

，0），
∴m+1=

7

5

，
∴m=

2

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問題：通過對(duì)稱，把兩條線段的和轉(zhuǎn)化為一條線段，利用兩點(diǎn)之間線段最短解決問題．也考查了坐標(biāo)變換以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式．