Question

已知：如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，點E為BD延長線上一點，且
（1）求證：AE=AD；
（2）若點F為線段BD上一點，CF=CD，BF=2，BE=6，△BFC的面積為3，求△ABD的面積．

Answer 1

解：（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，即∠ABE=∠CBD．
又∵，
∴△ABE∽△CBD，
∴∠AEB=∠CDB，
∵∠ADE=∠CDB，
∴∠ADE=∠AED，
∴AE=AD；

（2）∵CD=CF，AE=AD，
∴=．
又∵在△ABC中，BD平分∠ABC，
∴=，
∴=，
又∵∠ABD=∠CBF（BD是∠ABC的平分線），
∴△ABD∽△CBF
∴=．
∵，
∴=，則BD²=BF•BE=2×6=12，
即BD=2，
∴==．
∴=（）²=3，
∴S_△ABD=3S_△CBF=3×3=9．
即△ABD的面積是9．
分析：（1）先把乘積式轉(zhuǎn)化為比例式，再根據(jù)BD平分∠ABC得∠ABD=∠CBD，然后證明△ABE與△CBD相似，根據(jù)相似三角形對應角相等可得∠AEB=∠CDB，然后得到
∠ADE=∠AED，再利用等角對等邊的性質(zhì)即可證明；
（2）根據(jù)已知條件“CD=CF，AE=AD”和“∠ABC平分線的定理和定義”證得△ABD∽△CBF，則由該相似三角形的對應邊成比例、等量代換求得BD²=BF•BE=2×6=12，即BD=2，由此可以推知該相似三角形的相似比=．最后根據(jù)相似三角形面積比等于相似比的平方來求△ABD的面積．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．解答（2）題時，注意等量代換的巧用和角平分線定理的運用．