Question

7．如圖，平行四邊形ABCD中，AE平分∠BAD交BC邊于E，EF⊥AE交CD邊于F，EC=CF，若BC=7，DF=3，tan∠AEB=3，則平行四邊形ABCD的面積為21．

Answer 1

分析 注意到AE既是角平分線又是EF的垂線，于是根據(jù)三線合一構造出等腰三角形，即雙向延長EF分別交AB、AD于M、N，則AM=AN．又由AD∥BC可推出BA=BE，由BC=7，DF=3，EC=CF可求出CE=CF=2，結合tan∠AEB=3，算出AE、ME的長度，從而求出△AMN的面積，接著利用相似三角形的面積之比等于相似比的平方這一性質可分別算出△BME、△CEF、△DFN的面積，再用割補法算出平行四邊形ABCD的面積．

解答 解：如圖，延長EF交AD于N，延長FE交AB于點M，

∵∠BAE=∠EAD，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，
設CF=x，
∵CF=EC，DF=3，
∴EC=x，CD=AB=BE=3+x，
∵BC=BE+CE=7，
∴x=2，AB=BE=CD=5，
顯然△BEM∽△CEF∽△DNF，
∴BM=BE=5，DN=DF=3，
∴AM=AN=10，
∵AE⊥EF，
∴tan∠AEB=tan∠BAE=3=$\frac{ME}{AE}$，
∴AE=$\sqrt{10}$，ME=3$\sqrt{10}$，
∴S_△AMN=$\frac{1}{2}$×MN×AE=30，
∴${S}_{△BME}=\frac{1}{4}{S}_{△AMN}$=$\frac{15}{2}$，
∴${S}_{△CEF}=\frac{4}{25}{S}_{△BME}$=$\frac{6}{5}$，
∴${S}_{△DFN}=\frac{9}{4}{S}_{△CEF}$=$\frac{27}{10}$，
∴S_ABCD=S_△AMN-S_△BEM-S_△BFN+S_△CEF=21．

點評 本題考查了平行四邊形的性質、角平分性的性質、相似三角形的判定與性質、解三角形等重要知識點，有一定難度．識別出AE的三線合一性質并正確作出輔助線是解答本題的關鍵．