Question

3．如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)y=$\frac{4}{x}$的圖象在第一象限交于A、B兩點，且交x軸于點C，交y軸于點F，若$\frac{CB}{CA}$=$\frac{1}{3}$，連接OA交反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的圖象于點D，連接BD，若S_△ADB=$\frac{8}{3}$，則k的值為1．

Answer 1

分析 作AM⊥OC于M，BN⊥OC于N，根據已知得出$\frac{BN}{AM}$=$\frac{CB}{CA}$=$\frac{1}{3}$，設B（m，$\frac{4}{m}$），則A（$\frac{m}{3}$，$\frac{12}{m}$），根據反比例系數(shù)k的幾何意義可知S_△AOB=S_梯形AMNB=$\frac{16}{3}$，從而求得AD=OD，得出D（$\frac{m}{6}$，$\frac{6}{m}$），代入y=$\frac{k}{x}$（k＞0）即可求得k的值．

解答 解：作AM⊥OC于M，BN⊥OC于N，
∵S_△AOM=S_△BON=$\frac{1}{2}$×4=2，
∴S_△AOB=S_梯形AMNB，
設B（m，$\frac{4}{m}$），
∵AM∥BN，$\frac{CB}{CA}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{BN}{AM}$=$\frac{CB}{CA}$=$\frac{1}{3}$，
∴A（$\frac{m}{3}$，$\frac{12}{m}$），
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$（$\frac{4}{m}$+$\frac{12}{m}$）×（m-$\frac{m}{3}$）=$\frac{16}{3}$，
∵S_△ADB=$\frac{8}{3}$，
∴S_△BOD=$\frac{8}{3}$，
∴AD=OD，
∴D（$\frac{m}{6}$，$\frac{6}{m}$），
∵D在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的圖象上，
∴k=$\frac{m}{6}$×$\frac{6}{m}$=1．
故答案為1．

點評 本題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的交點，反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，根據反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義得出S_△AOB=S_梯形AMNB是解題的關鍵．