Question

19．如圖①，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分別為B、D，AD、BC相交于點E，過點E作EF⊥BD．
（1）猜想$\frac{1}{AB}$、$\frac{1}{CD}$、$\frac{1}{EF}$這三個量之間的數量關系并證明．
（2）若將圖①中的垂直改為斜交，如圖②，AB∥CD，AD、BC相交于點E，過點E作EF∥AB交BD于點F，試問（1）中的數量關系還成立嗎？說明理由．
（3）試找出S_△ABD，S_△BED，S_△BDC之間的關系式，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）易證EF∥AB∥CD，則△ABD∽△EFD，根據相似三角形的對應邊的比相等，即可證得$\frac{EF}{AB}$=$\frac{DF}{BD}$，同理$\frac{EF}{CD}$=$\frac{BF}{BD}$，兩式相加即可得；
（2）由題意知，兩直線平行是很關鍵的條件，要根據三角形平行線分線段成比例，找出關系，然后相加就得到結果；
（3）要用到第一問的結論，作出各個三角形的高，再把各面積用邊表示出來，即可找到關系．

解答 解：
（1）$\frac{1}{AB}$+$\frac{1}{CD}$=$\frac{1}{EF}$，
證明如下：
∵AB⊥BD，EF⊥BD，
∴EF∥AB，
∴△ABD∽△EFD，
∴$\frac{EF}{AB}$=$\frac{DF}{BD}$，同理$\frac{EF}{CD}$=$\frac{BF}{BD}$，
∴$\frac{EF}{AB}$+$\frac{EF}{CD}$=$\frac{DF}{BD}$+$\frac{BF}{BD}$=$\frac{DF+BF}{BD}$=$\frac{BD}{BD}$=1，即（$\frac{1}{AB}$+$\frac{1}{CD}$）•EF=1，
∴$\frac{1}{AB}$+$\frac{1}{CD}$=$\frac{1}{EF}$；
（2）成立．
理由如下：
∵AB∥EF，
∴$\frac{EF}{AB}$=$\frac{DF}{BD}$，
∵CD∥EF，
∴$\frac{EF}{CD}$=$\frac{BF}{BD}$，
∴$\frac{EF}{AB}$+$\frac{EF}{CD}$=$\frac{DF}{BD}$+$\frac{BF}{BD}$=$\frac{DF+BF}{BD}$=$\frac{BD}{BD}$=1，即（$\frac{1}{AB}$+$\frac{1}{CD}$）•EF=1，
∴$\frac{1}{AB}$+$\frac{1}{CD}$=$\frac{1}{EF}$；
（3）關系式為：$\frac{1}{{S}_{△ABD}}$+$\frac{1}{{S}_{△BDC}}$=$\frac{1}{{S}_{△BED}}$．
證明如下：
如圖，分別過A作AM⊥BD于M，過E作EN⊥BD于N，過C作CK⊥BD交BD的延長線于K

由（1）可得：$\frac{1}{AM}$+$\frac{1}{CK}$=$\frac{1}{EN}$，
∴$\frac{2}{BD•AM}$+$\frac{2}{BD•CK}$=$\frac{2}{BD•EN}$，即$\frac{1}{\frac{1}{2}BD•AM}$+$\frac{1}{\frac{1}{2}BD•CK}$=$\frac{1}{\frac{1}{2}BD•EN}$，
又∵$\frac{1}{2}$BD•AM=S_△ABD，$\frac{1}{2}$BD•CK=S_△BCD，$\frac{1}{2}$BD•EN=S_△BED，
∴$\frac{1}{{S}_{△ABD}}$+$\frac{1}{{S}_{△BDC}}$=$\frac{1}{{S}_{△BED}}$．

點評 本題主要考查了相似三角形的判定與性質，正確通過相似三角形的性質把線段的比進行轉化是關鍵．同時考查了平行線分線段成比例定理的運用．