Question

如圖，CD是Rt△ABC斜邊上的高，E為AC的中點，ED交CB的延長線于F．
求證：BD•CF=CD•DF．

Answer 1

證明：∵CD⊥AB，E為斜邊AC的中點，
∴DE=CE=AE=AC，
∴∠EDA=∠A．
∵∠EDA=∠FDB，
∴∠A=∠FDB．
∵∠ACB=∠CDB=90°，
∴∠A=∠FCD，
∴∠FDB=∠FCD．
∵△FDB∽△FCD，
∴BD：CD=DF：CF．
∴BD•CF=CD•DF．
分析：根據(jù)要證明的結(jié)論分析得，需要證明△FDB∽△FCD，∵∠F=∠F，再求得一個角相等即可，又CD是Rt△ABC斜邊上的高，E為AC的中點，∴DE=AE．通過外角及對頂角的性質(zhì)即可求得∠FBD=∠FDC，由如果兩個三角形的兩個對應(yīng)角相等，那么這兩個三角形相似即可證得相似，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例求得．
點評：此題主要題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)：
①如果兩個三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個三角形相似；
②如果兩個三角形的兩條對應(yīng)邊的比相等，且夾角相等，那么這兩個三角形相似；
③如果兩個三角形的兩個對應(yīng)角相等，那么這兩個三角形相似．平行于三角形一邊的直線截另兩邊或另兩邊的延長線所組成的三角形與原三角形相似．相似三角形的對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等．