Question

我們把“按照某種理想化的要求（或?qū)嶋H可能應(yīng)用的標(biāo)準(zhǔn)）來反映或概括的表現(xiàn)某一類或一種事物關(guān)系結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)形式”看作是一個(gè)數(shù)學(xué)中的一個(gè)“模式”（我國著名數(shù)學(xué)家徐利治）．
如圖是一個(gè)典型的圖形模式，用它可測(cè)底部可能達(dá)不到的建筑物的高度，用它可測(cè)河寬，用它可解決數(shù)學(xué)中的一些問題．等等．
（1）如圖，若B₁B=30米，∠B₁=22°，∠ABC=30°，求AC（精確到1）；
（參考數(shù)據(jù)：sin22°≈0.37，cos22°≈0.92，tan22°≈0.40，

3

≈1.73）
（2）如圖2，若∠ABC=30°，B₁B=AB，計(jì)算tan15°的值（保留準(zhǔn)確值）；
（3）直接寫出tan7.5°的值．（注：若出現(xiàn)雙重根式

a+b c

，則無需化簡(jiǎn)）

Answer 1

考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用,勾股定理

專題：幾何圖形問題,壓軸題,轉(zhuǎn)化思想

分析：（1）在Rt△ABC和Rt△AB₁C中，利用三角函數(shù)，用AC分別表示出BC和B₁C，根據(jù)B₁B=B₁C-BC，列方程求得AC的長；
（2）設(shè)B₁B=AB=x，在Rt△ABC中，利用三角函數(shù)用x表示出AC和BC的長，則B₁C即可求得，根據(jù)正切的定義即可求解；
（3）按照（1）（2）的規(guī)律，畫出含有7.5°角、15°角和30°角的直角三角形，如答圖3所示，利用勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)及正切的定義，求出tan7.5°的值．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，tan∠ABC=

AC

BC

，
則BC=

AC

tan30°

=

3

AC，
同理，B₁C=

AC

tan22°

，
∵B₁B=B₁C-BC，
∴

AC

0.40

-

3

AC=30，
解得：AC≈39（米）；

（2）∵B₁B=AB，
∴∠B₁=∠B₁AB=

1

2

∠ABC=15°，
設(shè)B₁B=AB=x，
在Rt△ABC中，∠ABC=30°，
∴AC=

1

2

AB=

1

2

x，BC=

3

2

x，
∴B₁C=x+

3

2

x，
∴tan15°=

AC

B1C

=

1 2 x

x+ 3 2 x

=

1

2+ 3

=2-

3

；

（3）如答圖3所示，圖中三角形依次是含有7.5°角、15°角和30°角的直角三角形．
設(shè)AC=a，則AB=2a，BC=

AC

tan30°

=

3

a．
∴B₁B=AB=2a，
∴B₁C=2a+

3

a=（2+

3

）a．
在Rt△AB₁C中，由勾股定理得：AB₁=

B1C2+AC2

=

(2+ 3 )2a2+a2

=2

2+ 3

a，
∴B₂B₁=AB₁=2

2+ 3

a，
∴B₂C=B₂B₁+B₁C=2

2+ 3

a+（2+

3

）a
∴tan7.5°=tan∠AB₂C=

AC

B2C

=

a

2 2+ 3 a+(2+ 3 )a

∴tan7.5°=

1

2 2+ 3 +2+ 3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了三角函數(shù)的基本概念，主要是正切概念及運(yùn)算，關(guān)鍵把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題加以計(jì)算．