Question

如圖為二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象，下面四條信息：①4ac＜b²＜0；②4a+c＜2b；③m（am+b）＜a-b（m≠-1）；④3a+c＞0，其中正確信息的個(gè)數(shù)是（　　）

• A、4個(gè)
• B、3個(gè)
• C、2個(gè)
• D、1個(gè)

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系

專題：數(shù)形結(jié)合

分析：由拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)得到b²-4ac＞0，即4ac＜b²，而b²≥0，于是可對(duì)①進(jìn)行判斷；根據(jù)拋物線的對(duì)稱性得到拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在（-3，0）和（-2，0）之間，則當(dāng)x=-2時(shí)，y＞0，即4a-2b+c＞0，于是可對(duì)②進(jìn)行判斷；根據(jù)拋物線的最值問(wèn)題，當(dāng)x=-1時(shí)，y有最大值，即am²+bm+c＜a-b+c（m≠-1），于是可對(duì)③進(jìn)行判斷；由拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-

b

2a

=-1得到b=2a，再加上x=1時(shí)，y＜0，即a+b+c＜0，則可對(duì)④進(jìn)行判斷．

解答：解：∵拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，
∴△=b²-4ac＞0，即4ac＜b²，
而b²≥0，所以①錯(cuò)誤；
∵拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在原點(diǎn)和（1，0）之間，
而拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-1，
∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在（-3，0）和（-2，0）之間，
∴當(dāng)x=-2時(shí)，y＞0，
∴4a-2b+c＞0，即4a+c＞2b，所以②錯(cuò)誤；
∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-1，
∴當(dāng)x=-1時(shí)，y有最大值，
∴am²+bm+c＜a-b+c（m≠-1），即m（am+b）＜a-b（m≠-1），所以③正確；
∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-

b

2a

=-1，
∴b=2a，
而x=1時(shí)，y＜0，即a+b+c＜0，
∴a+2a+c＜0，即3a+c＜0，所以④錯(cuò)誤．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0），二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開(kāi)口方向和大小，當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線向上開(kāi)口；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線向下開(kāi)口；一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置，當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab＞0），對(duì)稱軸在y軸左； 當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab＜0），對(duì)稱軸在y軸右；常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)． 拋物線與y軸交于（0，c）；拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)由△決定，△=b²-4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△=b²-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△=b²-4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．