Question

【題目】如圖，已知，，連接，過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)段，使，連接．

（1）如圖1，求點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）如圖2，若點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿軸向左平移，連接，作等腰直角，連接，當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上，求證：；

（3）在（2）的條件下若、、三點(diǎn)共線(xiàn)，求此時(shí)的度數(shù)及點(diǎn)坐標(biāo)．

　　　　

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）證明見(jiàn)解析；（3）∠APB=135°，點(diǎn)坐標(biāo)為．

【解析】

（1）作CH⊥y軸于H，證明△ABO≌△BCH，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BH＝OA＝3，CH＝OB＝1，求出OH，得到C點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）證明△PBA≌△QBC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到PA＝CQ；

（3）根據(jù)C、P，Q三點(diǎn)共線(xiàn)，得到∠BQC＝135，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠BPA＝∠BQC＝135，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出OP，得到P點(diǎn)坐標(biāo)．

（1）作軸于，

則，

∵，

∴，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，，

∴，

∴點(diǎn)坐標(biāo)為；

（2）∵，

∴，即，

在和中，

，

∴，

∴；

（3）∵是等腰直角三角形，∴，

當(dāng)、、三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，，

由（2）可知，，

∴，

∴，

∴，

∴點(diǎn)坐標(biāo)為．

故∠APB=135，點(diǎn)坐標(biāo)為．