Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線AC：y=-x-1與坐標軸分別交于A、C兩點，點B的坐標為（4，0），半徑為1的⊙B以每秒1個單位長度的速度沿x軸負方向平移．

（1）求點A的坐標及∠CAO的度數(shù)；
（2）求⊙B平移到與Y軸相切需要的時間t；
（3）若⊙B在開始平移的同時，直線AC繞點A順時針勻速旋轉（旋轉角度在0度---360 度之間）．當⊙B第一次與y軸相切時，直線AC也恰好與⊙B第一次相切．問：直線AC繞點A每秒旋轉多少度？

Answer 1

分析：（1）對于直線AC：y=-x-1，令x=0，y=-1；令y=0，得x=-1，即可得到點A的坐標為（-1，0），∠CAO=45°；
（2）OB=4，⊙B的半徑為1，移動的速度為每秒1個單位長度，即可得到⊙B平移到與Y軸相切需要的時間t=

4-1

1

=3（秒）；
（3）設直線AC與⊙B相切于D點，連BD，根據(jù)直線與圓相切的性質(zhì)得到BD⊥AC，BD=1，OB=1，則AB=2，再根據(jù)含30°的直角三角形三邊的關系得∠DAB=30°，即有直線AC繞點A旋轉了360°-30°-45°=285°，然后除以時間3秒得到直線AC繞點A每秒旋轉的度數(shù)．

解答：解：（1）對于直線AC：y=-x-1，令x=0，y=-1；令y=0，得x=-1，
∴OA=OC，
∴點A的坐標為（-1，0），∠CAO=45°；

（2）∵點B的坐標為（4，0），即OB=4，
∴⊙B平移到與Y軸相切需要的時間t=

4-1

1

=3（秒）；

（3）如圖，設直線AC與⊙B切于D點，連BD，
∴BD⊥AC，BD=1
∵⊙B第一次與y軸相切時，直線AC也恰好與⊙B第一次相切，
∴OB=1，
∴AB=2，
∴∠DAB=30°，
∴直線AC繞點A旋轉了360°-30°-45°=285°，
而⊙B第一次與y軸相切時用了3秒，
∴直線AC繞點A每秒旋轉的度數(shù)=

285°

3

=95°，
即直線AC繞點A每秒旋轉95度．

點評：本題考查了直線與兩坐標軸交點坐標的求法．也考查了直線與圓相切的性質(zhì)以及含30°的直角三角形三邊的關系．