Question

如圖，在△AOB中，∠AOB=90°，

AO

BO

=

3

4

，若⊙O的半徑為r=

12

5

，請判斷命題“當(dāng)

3

2

≤S_△ABO≤6時(shí)，直線AB一定和⊙O相交”是否正確，如果正確請說明理由，錯(cuò)誤請舉出反例．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專題：

分析：首先根據(jù)

AO

BO

=

3

4

，設(shè)OA=3k，OB=4k（k＞0），利用勾股定理得到AB=5k，作OH⊥AB于H，利用等積法求得OH，從而求得S_△ABO，根據(jù)

3

2

≤S_△ABO≤6時(shí)得到直線AB與⊙O相切，從而舉出反例，判斷命題錯(cuò)誤．

解答：答：不正確．理由如下：
解：∵

AO

BO

=

3

4

，
∴設(shè)OA=3k，OB=4k（k＞0），
∵∠AOB=90°，
∴AB=5k
作OH⊥AB于H，則OH=

12k

5

，
S_△ABO=

1

2

OA•OB=

1

2

×3k×4k=6k²，
∵當(dāng)

3

2

≤S_△ABO≤6時(shí)，

3

2

≤6k²≤6，
∴

1

4

≤k²≤1，
設(shè)y=k²，
∵k＞0，
∴當(dāng)y=

1

4

時(shí)，k=

1

2

；當(dāng)y=1時(shí)，k=1，
∵當(dāng)k＞0時(shí)，y隨著k的增大而增大，
∴

1

2

≤k≤1，
當(dāng)k=1時(shí)，OH=

12

5

=r，
又∵OH⊥AB，
∴直線AB與⊙O相切，
“當(dāng)

3

2

≤S_△ABO≤6時(shí)，直線AB一定和⊙O相交”是不正確的．

點(diǎn)評：本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是能夠舉出反例，難度較大，題型比較新穎．