Question

如圖，從⊙O外一點(diǎn)A作⊙O的切線AB，AC，切點(diǎn)分別為B，C，⊙O的直徑BD為6，連結(jié)CD，AO．
（1）求證：CD∥AO；
（2）求CD•AO的值；
（3）若AO=2CD，求劣弧BC的長．

Answer 1

分析：（1）連接OC，求出∠COA=∠BOA，∠D=∠OCD，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出∠D=∠BOA，根據(jù)平行線判定推出即可；
（2）證△BCD∽△ABO，得出比例式，代入求出即可；
（3）求出CD的值，得出等邊三角形，求出∠COB度數(shù)，代入弧長公式求出即可．

解答：（1）證明：
連接OC，
∵AC、AB分別切⊙O于C、B，
∴∠ACO=∠ABO=90°，∠CAO=∠BAO，
∵∠COA+∠ACO+∠CAO=180°，∠BOA+∠BAO+∠OBA=180°，
∴∠COA=∠BOA，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∵∠COA+∠BOA=∠OCD+∠ODC，
∴2∠ODC=2∠AOB，
即∠D=∠AOB，
∴CD∥AO．

（2）解：
連接BC，
∵BD是⊙O直徑，
∴∠DCB=∠ABO=90°，
∵∠D=∠AOB，
∴△BCD∽△ABO，
∴

DC

DB

=

BO

AO

，
∴CD•AO=DB•BO=6×3=18．


（3）解：∵CD•AO=18，AO=2CD，
∴CD=3，
∵OC=3=OD=3，
∴△COD是等邊三角形，
∴∠OCD=∠ODC=60°，
∴∠COB=120°，
∴弧BC的長是

120π•3

180

=2π．

點(diǎn)評：本題考查了相似三角形性質(zhì)和判定，弧長公式，平行線的判定，等腰三角形性質(zhì)，切線性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算的能力．