Question

（2012•杭州）已知拋物線y=k（x+1）（x-

3

k

）與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C，則能使△ABC為等腰三角形的拋物線的條數(shù)是（　�。�

A．2

B．3

C．4

D．5

Answer 1

分析：整理拋物線解析式，確定出拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)A和y軸的交點(diǎn)C，然后求出AC的長(zhǎng)度，再分①k＞0時(shí)，點(diǎn)B在x軸正半軸時(shí)，分AC=BC、AC=AB、AB=BC三種情況求解；②k＜0時(shí)，點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸時(shí)，點(diǎn)B只能在點(diǎn)A的左邊，只有AC=AB一種情況列式計(jì)算即可．

解答：解：y=k（x+1）（x-

3

k

）=（x+1）（kx-3），
所以，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0），C（0，-3），
AC=

OA2+OC2

=

12+32

=

10

，
點(diǎn)B坐標(biāo)為（

3

k

，0），
①k＞0時(shí)，點(diǎn)B在x正半軸上，
若AC=BC，則

( 3 k )2+32

=

10

，解得k=3，
若AC=AB，則

3

k

+1=

10

，解得k=

3

10 -1

=

10 +1

3

，
若AB=BC，則

3

k

+1=

( 3 k )2+32

，解得k=

3

4

；
②k＜0時(shí)，點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸，點(diǎn)B只能在點(diǎn)A的左側(cè)，
只有AC=AB，則-1-

3

k

=

10

，解得k=-

3

10 +1

=-

10 -1

3

，
所以，能使△ABC為等腰三角形的拋物線共有4條．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)問題，根據(jù)拋物線的解析式確定出拋物線經(jīng)過的兩個(gè)定點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，注意分情況討論．