Question

如圖，已知⊙O的直徑AB與弦CD互相垂直，垂足為點E. ⊙O的切線BF與弦AD的延長線相交于點F，且AD＝3，cos∠BCD＝.

（1）求證：CD∥BF；

（2）求⊙O的半徑；

（3）求弦CD的長.

 

Answer 1

【答案】

（1）∵BF切⊙O于點B， ∴BF⊥OB………………………(1分)

                  又∵AB⊥CD于E， ∴∠AED＝∠ABF＝90º…………(2分)

                  ∴CD∥BF…………………………………………………(3分)

（2）作OH⊥AD于H，則AH＝AD＝…………………………………(4分)

          在Rt△AOH中，AH＝，cosA＝cos∠BCD＝

          ∴AO＝×＝2，即半徑為2………………………………………(6分)

（3）在Rt△ADE中，AD＝3，cosA＝ ∴AE＝3×＝………………(7分)

     在Rt△ODE中，OD＝2，OE＝－2＝  ∴DE＝…………(8分)

     ∴CD＝2DE＝………………(9分)

【解析】1）由BF是⊙O的切線得到AB⊥BF，而AB⊥CD，由此即可證明CD∥BF；

（2）連接BD，由AB是直徑得到∠ADB=90°，而∠BCD=∠BAD，cos∠BCD= ，所以cos∠BAD= = ，然后利用三角函數(shù)即可求出⊙O的半徑；

（3）由于cos∠DAE= = ，而AD=3，由此求出AE，接著利用勾股定理可以求出ED，也就求出了CD．