Question

如圖，C、D、B的坐標分別為（1，0）（9，0）（10，0），點P（t，0）是CD上一個動點，在x軸上方作等邊△OPE和△BPF，連EF，G為EF的中點．
（1）當t=______時，EF∥OB；
（2）雙曲線y=過點G，當PG=時，則k=______．

Answer 1

解：（1）作EM⊥OB于M點，F(xiàn)N⊥OB于N點，如圖，
∵△OPE和△BPF都是等邊三角形，
∴EM=OP，F(xiàn)N=PB，
當EM=FN時，EF∥OB，
∵P（t，0），B（10，0），
∴PC=t，PB=10-t
∴t=（10-t），
∴t=5；

（2）作GH⊥OB于H點，如圖，
∵G為EF的中點，
∴GH為梯形EMNF的中位線，
∴GH=（EM+FN）=[t+（10-t）]=，HM=MN=（ON-OM）=[t+（10-t）-t]=，
∴PH=-t或t-，
在Rt△PGH中，PG²=GH²+PH²，
∴（）²+（）²=（）²，
∴t₁=3，t₂=7，
當t=3時，OH=+t=4，
∴G點坐標為（4，），
把G（4，）代入y=得k=4×=10；
當t=7時，OH=+=6，
∴G點坐標為（6，），
把G（6，）代入y=得k=6×=15；
∴k的值為10或15．
故答案為5；10或15．
分析：（1）作EM⊥OB于M點，F(xiàn)N⊥OB于N點，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得EM=OP，F(xiàn)N=PB，所以EM=FN時，EF∥OB，則t=（10-t），然后即方程即可得到t的值；
（2）作GH⊥OB于H點，則GH為梯形EMNF的中位線，根據(jù)梯形中位線的性質(zhì)得GH=（EM+FN）=，HM=MN=（ON-OM）=，得到PH=-t或t-，
再利用勾股定理得PG²=GH²+PH²，即（）²+（）²=（）²，解得t₁=3，t₂=7，然后分別確定G點坐標，再代入反比例函數(shù)解析式可得到k的值．，
點評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：反比例函數(shù)圖象上點的坐標滿足其函數(shù)解析式，運用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式；掌握等邊三角形的性質(zhì)、含30°的直角三角形三邊的關(guān)系和勾股定理．