Question

我們知道，對(duì)于二次函數(shù)y=a（x+m）²+k的圖象，可由函數(shù)y=ax²的圖象進(jìn)行向左向右平移|m|個(gè)單位、再向上或向下平移|k|個(gè)單位得到，我們稱函數(shù)y=ax²為“基本函數(shù)”，而稱由它平移得到的二次函數(shù)y=a（x+m）²+k為“基本函數(shù)”y=ax²的“朋友函數(shù)”．左右、上下平移的路徑稱為朋友路徑，對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的線段距離

m2+k2

稱為朋友距離．
  如一次函數(shù)y=2x-5是基本函數(shù)y=2x的朋友函數(shù)，由y=2x-5=2（x-1）-3朋友路徑可以是向右平移1個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位，朋友距離=

12+32

=

10

．
（1）探究一：小明同學(xué)經(jīng)過(guò)思考后，為函數(shù)y=2x-5又找到了一條朋友路徑為由基本函數(shù)y=2x先向

 

，再向下平移7單位，相應(yīng)的朋友距離為

 

．
（2）探究二：將函數(shù)y=

4x+5

x+1

化成y=

 

，使和它的基本函數(shù)y=

1

x

成為基本函數(shù)，并寫出朋友路徑，并求相應(yīng)的朋友距離．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)題意把y=2x-5化為y=2（x+1）-7的形式，再根據(jù)題中所給出的例子即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)題中給出的基本函數(shù)的式子即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵y=2x-5化為y=2（x+1）-7的形式，
∴基本函數(shù)y=2x先向左平移1個(gè)單位，再向下平移7單位，相應(yīng)的朋友距離為=

12+72

=5

2

．
故答案為：左平移1個(gè)單位，5

2

； 

（2）∵函數(shù)y=

4x+5

x+1

可化為y=

1

x+1

+4，
∴朋友路徑為先向左平移1個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位．
相應(yīng)的朋友距離為

12+42

=

17

．
故答案為：

1

x+1

+4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，根據(jù)題意理解“基本函數(shù)”及“朋友路徑”的定義是解答此題的關(guān)鍵．