Question

如圖，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，將△DEF與△ABC重合在一起，△ABC不動(dòng)，△ABC不動(dòng)，△DEF運(yùn)動(dòng)，并滿足：點(diǎn)E在邊BC上沿B到C的方向運(yùn)動(dòng)，且DE、始終經(jīng)過點(diǎn)A，EF與AC交于M點(diǎn)。
（1）求證：△ABE∽△ECM；
（2）探究：在△DEF運(yùn)動(dòng)過程中，重疊部分能否構(gòu)成等腰三角形？若能，求出BE的長；若不能，請說明理由；
（3）當(dāng)線段AM最短時(shí)，求重疊部分的面積。

Answer 1

解：（1）證明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠AEF=∠B，
又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE，
∴∠CEM=∠BAE，
∴△ABE∽△ECM；
（2）解：∵∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，
∴∠AME＞∠AEF，
∴AE≠AM；
當(dāng)AE=EM時(shí)，則△ABE≌△ECM，
∴CE=AB=5，
∴BE=BC﹣EC=6-5=1，
當(dāng)AM=EM時(shí)，則∠MAE=∠MEA，
∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM，
即∠CAB=∠CEA，
又∵∠C=∠C，
∴△CAE∽△CBA，
∴，
∴CE=，
∴BE=6-=；
（3）解：設(shè)BE=x，
又∵△ABE∽△ECM，
∴，
即：，
∴CM=-+x=-（x-3）²+，
∴AM=-5-CM=（x-3）²+，
∴當(dāng)x=3時(shí)，AM最短為，
又∵當(dāng)BE=x=3=BC時(shí)，
∴點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，
∴AE⊥BC，
∴AE==4，
此時(shí)，EF⊥AC，
∴EM==，
S_△AEM=。