Question

如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC為長方形，點A，B的坐標分別為（4，0），（4，3），動點M，N分別從點O，B同時出發(fā)，以每秒1個單位的速度運動，其中點M沿OA向終點A運動，點N沿BC向終點C運動，過點N作NP⊥BC，交AC于點P，連接MP，當兩動點運動了t秒時．
（1）直線AC的解析式是y=-x+3．
（2）記△MPA的面積為S，求S關于t的函數關系式（0＜t＜4）．
（3）若點Q在y軸上，當S=1.5且△QAN為等腰三角形時，求直線AQ的解析式．

Answer 1

解：（1）直線AC的解析式是y=-x+3．

（2）∵OM=t，
∴AM=4-t，
∵PN∥AB，
∴，
∴，
∴PN=（4-t），
∴PH=3-PN=，
故S于t的函數關系式為S=AM•ON=×t×（4-t）=（4t-t²）=-t²+t．

（3）當S=1.5時，t=2，此時N在BC的中點處，如下圖．
設Q（0，y），則AQ²=OA²+OQ²=4²+y²，
QN²=CN²+CQ²=2²+（3-y）²，
AN²=AB²+BN²=3²+2²．
∵△QAN為等腰三角形．
①若AQ=AN，則4²+y²=3²+2²，此時方程無解．

②若AQ=QN，即4²+y²=2²+（3-y）²，
解得．
③若QN=AN，即2²+（3-y）²=3²+2²，
解得y₁=0，y₂=6．
∴，Q₂（0，0），Q₃（0，6）．
當Q為時，設直線AQ的解析式為，將A（4，0）
代入得，∴．
∴直線AQ的解析式為．
當Q為（0，0）時，A（4，0），Q（0，0）均在x軸上，
∴直線AQ的解析式為y=0（或直線為x軸）．
當Q為（0，6）時，Q，N，A在同一直線上，△ANQ不存在，舍去．
故直線AQ的解析式為，或y=0．
分析：（1）如圖可得點C的坐標為（0，3），設直線AC的解析式為y=kx+b．把已知坐標代入可求出解析式．
（2）首先求出OM，ON的值，依題意得S=OM•ON．
（3）當S=1.5時，N在BC的中點處，設Q（0，y）利用勾股定理證明△QAN為等腰三角形．分三種情況討論等腰三角形的邊長：①若AQ=AN，則4²+y²=3²+2²，此時方程無解；②若AQ=QN，即4²+y²=2²+（3-y）²，得；③若QN=AN，即2²+（3-y）²=3²+2²，解得y₁=0，y₂=6．故求出三個Q點坐標，分別代入直線AQ的解析式求解．
點評：本題考查的是一次函數的綜合運用以及勾股定理的有關知識，難度較大．