Question

設函數(shù)y=kx²+（2k+1）x+1（k為實數(shù)）
（1）寫出其中的兩個特殊函數(shù)，使它們的圖象不全是拋物線，并在同一直角坐標系中，用描點法畫出這兩個特殊函數(shù)的圖象；
（2）根據(jù)所畫圖象，猜想出：對任意實數(shù)k，函數(shù)的圖象都具有的特征，并給予證明；
（3）對任意負實數(shù)k，當x＜m時，y隨著x的增大而增大，試求出m的一個值．

Answer 1

解：（1）如兩個函數(shù)為y=x+1，y=x²+3x+1，函數(shù)圖形如圖所示；
（2）不論k取何值，函數(shù)y=kx²+（2k+1）x+1的圖象必過定點（0，1），（﹣2，﹣1），
且與x軸至少有1個交點．
證明如下：將x=0時代入函數(shù)中解出y=1，x=﹣2時代入函數(shù)中解出Y=﹣1．
所以函數(shù)的圖象必過定點（0，1），（﹣2，﹣1）．
又因為當k=0時，函數(shù)y=x+1的圖象與x軸有一個交點；
當k≠0時，
∵△=（2k+1）2﹣4k=4k2+1＞0，
所以函數(shù)圖象與x軸有兩個交點．
所以函數(shù)y=kx²+（2k+1）x+1的圖象與x軸至少有1個交點．
（3）只要寫出m≤﹣1的數(shù)都可以．
∵k＜0，
∴函數(shù)y=kx²+（2k+1）x+1的圖象在對稱軸直線x=﹣的左側，
y隨x的增大而增大．
根據(jù)題意，得m≤﹣，而當k＜0時，﹣=﹣1﹣＞﹣1，
所以m≤﹣1．