Question

15．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠A的度數(shù)為60°，∠ABC、∠ACB的角平分線分別交于AC、AB于點D、E，CE、BD相交于點F．以下四個結(jié)論：①cos∠BFE=$\frac{1}{2}$；②BC=BD；③EF=FD；④BF=2DF．其中結(jié)論一定正確的序號數(shù)是（　�。�

• A． ①②
• B． ①③
• C． ③④
• D． ②④

Answer 1

分析 ①正確．只要證明∠BFE=60°即可；
②錯誤．利用反證法，假設成立．推出矛盾即可．
③正確．作FW⊥AC，F(xiàn)S⊥AB只要證明△FSE≌△WFD即可．
④錯誤．BF=DF是重心的性質(zhì)，內(nèi)心不一定成立．

解答 解：∵∠A=60°
∴∠ABC+∠BCA=180°-∠A=120°
∵∠ABC、∠ACB的角平分線分別是BD，CE
∴∠CBF+∠BCF=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠BCA）=60°=∠BFE
∴cos∠BFE=$\frac{1}{2}$，
∴即cos∠BFE=$\frac{1}{2}$；故①正確；
∵∠BDC=∠A+$\frac{1}{2}$∠ABC=60°+∠DBA
∠BCA=180°-∠A-2∠DBA=120°-2∠DBA
若BC=BD成立，則應有∠BDC=∠BCA
應有60°+∠DBA=120°-2∠DBA，
即∠DBA=20°，
此時∠ABC=40°，
∴∠BCD=∠BDC=80°，
而根據(jù)題意，沒有條件可以說明∠ABC是40°，
故②錯誤；
∵點F是△ABC內(nèi)心，作FW⊥AC，F(xiàn)S⊥AB
則FW=FS，∠FSE=∠FWD=90°∠EFD=∠SFW=120°
∴∠SFE=∠WFD，△FSE≌△WFD
∴FD=FE，故③正確；
由于點F是內(nèi)心而不是各邊中線的交點，故BF=2DF不一定成立，因此④不正確．
因此本題正確的結(jié)論為①③．
故選B．

點評 本題利用了三角形內(nèi)角和定理，余弦的概念，角的平分線的性質(zhì)，圓周角定理，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．