Question

【題目】如圖，已知在正方形中，，是線段上的一動點，連接，過點作交于點.以為直徑作，當點從點移動到點時，對應點也隨之運動，則點運動的路程長度為____________.

Answer 1

【答案】

【解析】

連接AC，取AC的中點K，連接OK．設AP＝x，AE＝y，求出AE的最大值，進而求出OK的最大值，由題意點O的運動路徑的長為2OK，由此即可解決問題．

解：連接AC，取AC的中點K，連接OK．設AP＝x，AE＝y，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴ ．

∵PE⊥CP，

∴∠APE+∠CPD＝90°，且∠AEP+∠APE＝90°，

∴∠AEP＝∠CPD，且∠EAP＝∠CDP＝90°，

∴△APE∽△DCP，

∴，

即

∴

∴當x＝時，y的最大值為1，

∴AE的最大值＝1，

∵AK＝KC，EO＝OC，

∴OK＝AE＝，

∴OK的最大值為，

由題意點O的運動路徑的長為2OK＝1，

故答案為：1．