Question

6．如圖，O是△ABC的外心，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，則OD：OE：OF等于（　�。�

• A． a：b：c
• B． $\frac{1}{a}$：$\frac{1}$：$\frac{1}{c}$
• C． sinA：sinB：sinC
• D． cosA：cosB：cosC

Answer 1

分析 作出△ABC的外接圓，連接OA、OB、OC，由垂徑定理和圓周角定理可得∠B=$\frac{1}{2}$∠AOC=∠AOE，同理可知∠A=∠BOD、∠C=∠AOF，若設⊙O的半徑為R，可用R分別表示出OD、OE、OF，進而可得到它們的比例關系．

解答 解：如圖，連接OA、OB、OC；
∵∠BOC=2∠BAC=2∠BOD，
∴∠BAC=∠BOD；
同理可得：∠BOF=∠BCA，∠AOE=∠ABC；
設⊙O的半徑為R，則：
OD=R•cos∠BOD=R•cos∠A，
OE=R•cos∠AOE=R•cos∠B，
OF=R•cos∠BOF=R•cos∠C，
故OD：OE：OF=cos∠A：cos∠B：cos∠C，
故選D．

點評 此題主要考查了三角形的外接圓、圓周角定理及垂徑定理的綜合應用，解題的關鍵是能夠作出已知三角形的外接圓，難度中等．