Question

（2012•道里區(qū)一模）如圖，AB是⊙0的直徑，點(diǎn)C、D為圓上兩點(diǎn)，

BC

=

CD

且CF⊥AB于點(diǎn)F，CE⊥AD交AD的延長線于點(diǎn)E．求證：BF=DE．

Answer 1

分析：利用圓心角、弧、弦間的關(guān)系求得∠EAC=∠BAC，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)推知CE=CF；然后由全等直角三角形的判定定理證得△CBF≌△CDE；最后由全等三角形的對應(yīng)角相等可以證得結(jié)論．

解答：證明：∵

BC

=

CD

（已知），
∴∠CAB=∠CAD（等弧所對的圓周角相等），CB=CD（等弧所對的弦相等）；
又∵CF⊥AB，CE⊥AD（已知），
∴CF=CE（角平分線的性質(zhì)）；
∵∠CFB=∠E=90°，
∴△CBF≌△CDE（HL），
∴BF=DE（全等三角形的對應(yīng)邊相等）．

點(diǎn)評：本題考查了圓心角、弦、弧間的關(guān)系，角平分線的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．圓心角、弧、弦、弦心距之間的相等關(guān)系是論證同圓或等圓中弧相等、角相等及線段相等的主要依據(jù)，同時(shí)圓心角和它所對的弧的對應(yīng)相等關(guān)系，又是定義1°弧的理論基礎(chǔ)，并由此得圓心角的度數(shù)和它所對弧的度數(shù)相等．