Question

10．如圖，△ABC中．△BAC=90°，以AB為直徑作⊙O交BC于E，D為AC的中點(diǎn)，連結(jié)DE．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）連BD交OE于F，若AB=10，OF=2，求tan∠BFO．

Answer 1

分析 （1）連接OD，證AD=DE，證△OAD≌△OED，∠OED=∠OAD=90°即可．
（2）連接AE，由OF=2，OE=5可求EF=3，設(shè)DO=2k，BE=3k，則BC=4k，EC=k，可求AC=2k，由勾股定理解得AD，得出DE，即可得出tan∠BFO．

解答 （1）證明：連接OD；如圖1所示：
∵O、D分別是AB、AC的中點(diǎn)，
∴OD∥BC，
∴∠AOD=∠ABC，∠DOE=∠BEO；
∵OB=OE，
∴∠AOD=∠DOE，
在△OAD和△OED中，$\left\{\begin{array}{l}{OA=OE}&{\;}\\{∠AOD=∠DOE}&{\;}\\{OD=OD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△OAD≌△OED（SAS），
∴∠OED=∠OAD=90°，DE=AD，
∴DE為⊙O的切線．
（2）解：連接AE，如圖2所示：
∵OF=2，OE=5
∴EF=3；
∵OD∥BC，OD=$\frac{1}{2}$BC，
∴OD：BE=OF：EF=2：3；
設(shè)DO=2k，BE=3k，
則BC=4k，EC=k，
∵OD∥BC，
∴∠ODA=∠C，
又∠OAD=∠AEC=90°，
∴△OAD∽△EAC，
設(shè)AD=x，則AC=2k，
∴$\frac{AD}{EC}=\frac{OD}{AC}$，即$\frac{x}{k}=\frac{2k}{2x}$，
∴x=k，則AC=2x=2k，
又AB²+AC²=BC²，
即10²+（2k）²=（4k）²，
解得：k=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，
∴DE=AD=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，
∴tan∠BFO=tan∠DFE=$\frac{DE}{EF}$=$\frac{\frac{5\sqrt{3}}{3}}{3}$=$\frac{5\sqrt{3}}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定，勾股定理和三角形全等的判定，三角函數(shù)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．熟練掌握切線的判定，由勾股定理求出AD是解決問題（2）的關(guān)鍵．