Question

如圖，△ABC中，∠C=90°．
（1）以直角三角形的三邊為邊向形外作等邊三角形（如圖①），探究S₁+S₂與S₃的關系；
（2）以直角三角形的三邊為斜邊向形外作等腰直角三角形（如圖②），探究S₁+S₂與S₃的關系；
（3）以直角三角形的三邊為直徑向形外作半圓（如圖③），探究S₁+S₂與S₃的關系．

Answer 1

（1）由等邊三角形的性質可得：S₁=

3

4

AC²，S₂=

3

4

BC²，S₃=

3

4

AB²，
則S₁+S₂=

3

4

（AC²+BC²），
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴AC²+BC²=AB²，
∴S₁+S₂=S₃．

（2）由等腰直角三角形的性質可得：S₁=

1

4

AC²，S₂=

1

4

BC²，S₃=

1

4

AB²，
則S₁+S₂=

1

4

（AC²+BC²），
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴AC²+BC²=AB²，
∴S₁+S₂=S₃．

（3）由圓的面積計算公式知：S₁=

1

8

πAC²，S₂=

1

8

πBC²，S₃=

1

8

πAB²，
則S₁+S₂=

1

8

π（a²+b²），
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴AC²+BC²=AB²，
∴S₁+S₂=S₃．