Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C (0，4)，頂點(diǎn)為（1，）．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)D，試在對(duì)稱軸上找出點(diǎn)P，使△CDP為等腰三角形，請直接寫出滿足條件的所有點(diǎn)P的坐標(biāo)．

（3）若點(diǎn)E是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與A、B不重合），分別連接AC、BC，過點(diǎn)E作EF∥AC交線段BC于點(diǎn)F，連接CE，記△CEF的面積為S，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值及此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）∵拋物線的頂點(diǎn)為（1，）

∴設(shè)拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y＝a ( x－1) ²＋        ……………2分

∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C (0，4)，

∴a (0－1) ²＋＝4，解得a＝－

∴所求拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y＝－( x－1) ²＋     ………4分

（2）解：P₁ (1，)，P₂ (1，－)， P₃ (1，8)，P₄ (1，)，   …8分

（3）解：令－( x－1) ²＋＝0，解得x₁＝－2，x₁＝4

∴拋物線y＝－( x－1) ²＋與x軸的交點(diǎn)為A (－2，0)  C (4，0)……9分

過點(diǎn)F作FM⊥OB于點(diǎn)M，

∵EF∥AC，∴△BEF∽△BAC，∴＝

又∵OC＝4，AB＝6，∴MF＝×OC＝EB

設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為 (x，0)，則EB＝4－x，MF＝ (4－x)     …10分

∴S＝S_△BCE－S_△BEF＝ EB·OC－ EB·MF

＝ EB(OC－MF)＝ (4－x)[4－ (4－x)]＝－x²＋x＋＝－( x－1) ²＋3

∵a＝－＜0，∴S有最大值

當(dāng)x＝1時(shí)，S_最大值＝3       …11分

此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為 (1，0)                  …12分