Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AD⊥CD，BC⊥CD，且AD+BC=AB
（1）求證：⊙O與CD相切；
（2）若CD=3，求AD•BC．

Answer 1

（1）證明：過O作OE⊥CD，E為垂足；
∵AD⊥CD，BC⊥CD，
∴AD∥OE∥BC；
∴O為AB中點；
∴OE為OE=0.5（AD+BC），AB=AD+BC；
∴OE=0.5AB，OE⊥CD；
∴CD與⊙O相切．

（2）解：連接BE、AE，則∠AEB=90°；
∴∠AED+∠BEC=90°；
∵∠AED+∠DAE=90°，
∴∠BEC=∠DAE；
∵∠C=∠D=90°，
∴△ADE∽△ECB；
∴AD：DE=EC：BC；
∴AD•BC=DE•EC=．
分析：（1）過O作OE⊥CD，E為垂足．證明AD∥OE∥BC，運用平行線間的線段對應成比例得出OE與⊙O的半徑的關系，得出結論．
（2）連接BE、AE，證明Rt△ADE∽Rt△ECB，再根據相似三角形的性質求出AD•BC的比值．
點評：此題考查了圓的切線的判定與性質及相似三角形的判定與性質．要注意過切點的半徑與構造直徑所對的圓周角是圓中的常見輔助線．