Question

已知：如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB上的點(diǎn)O為圓心，OB的長(zhǎng)為半徑的圓與AB交于點(diǎn)E，與AC切于點(diǎn)D．

（1）求證：BC＝CD；

（2）求證：∠ADE＝∠ABD；

（3）設(shè)AD＝2，AE＝1，求⊙O直徑的長(zhǎng)．

Answer 1

解：（1）∵∠ABC＝90°，  ∴OB⊥BC．  ∵OB是⊙O的半徑，

∴CB為⊙O的切線．  又∵CD切⊙O于點(diǎn)D， ∴BC＝CD；

（2）∵BE是⊙O的直徑，  ∴∠BDE＝90°． ∴∠ADE＋∠CDB ＝90°．

又∵∠ABC＝90°，  ∴∠ABD＋∠CBD＝90°．

由（1）得BC＝CD，∴∠CDB ＝∠CBD．   ∴∠ADE＝∠ABD；

（3）由（2）得，∠ADE＝∠ABD，∠A＝∠A．   ∴△ADE∽△ABD．

∴＝．  ∴＝，∴BE＝3，  ∴所求⊙O的直徑長(zhǎng)為3．