Question

已知：在△ABC中，∠ABC=90°，點E在直線AB上，ED與直線AC垂直，垂足為D，且點M為EC中點，連接BM，DM．

（1）如圖1，若點E在線段AB上，探究線段BM與DM及∠BMD與∠BCD所滿足的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出你得到的結(jié)論；
（2）如圖2，若點E在BA延長線上，你在（1）中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化?寫出你的猜想并加以證明： （3）若點E在AB延長線上，請你根據(jù)條件畫出相應(yīng)的圖形，并直接寫出線段BM與DM及∠BMD與∠BCD所滿足的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

解：（1）結(jié)論：BM=DM，∠BMD=2∠BCD． （2）在（1）中得到的結(jié)論仍然成立．即BM=DM，∠BMD=2∠BCD． 證明：∵點M是Rt△BEC的斜邊EC的中點， ∴BM=EC=MC， 又點M是Rt△DEC的斜邊EC的中點， ∴DM=EC=MC． ∴BM=DM． ∵BM=MC，BM=MC， ∴∠CBM=∠BCM，∠DCM=∠CDM． ∴∠BMD=∠EMB-∠EMD=2∠BCM-2∠DCM =2（∠BCM-∠DCM）=2∠BCD． 即∠BMD=2∠BCD． （3）所畫圖形如圖所示： 圖1中有BM=DM，∠BMD=2∠BCD； 圖2中∠BCD不存在，有BM=DM； 圖3中有BM=DM，∠BMD=360°-2∠BCD．