Question

已知：如圖所示，A、K為圓O上的兩點(diǎn)，直線FN⊥MA，垂足為N，F(xiàn)N與圓O相切于點(diǎn)F，∠AOK=2∠MAK．
（1）求證：MN是圓O的切線；
（2）若點(diǎn)B為圓O上一動(dòng)點(diǎn)，BO的延長(zhǎng)線交圓O于點(diǎn)C，交NF于點(diǎn)D，連接AC并延長(zhǎng)交NF于點(diǎn)E．當(dāng)

FD=2ED時(shí)，求∠AEN的余切值．

Answer 1

（1）證明：∵OA=OK，
∴∠3=∠AKO．
∵∠2+∠3+∠AKO=180°，∠AOK=2∠MAK，
∴∠MAK+∠OAK=90°；
∴MN是圓O的切線．

（2）∵M(jìn)N是圓O的切線，
∴∠1=∠B，
∴∠4=∠2．
又∵∠2=∠3，
∴∠4=∠3，
∴DC=DE．
∵NF切圓O于F，
∴∠OFN=90°，
又∵∠NAO=90°，
∴四邊形AOFN是矩形．
∵OA=OF，
∴矩形AOFN是正方形，
∴AN=NF=OF．
∵NF切圓O于F，
∴FD²=DC?DB．
∵FD=2ED，
設(shè)ED=x，則CD=ED=x，
∴（2x）²=x（x+2r），
解得x=

2

3

r．
在△AEN中，∠ANE=90°，
cot∠AEN=

NE

AN

=

NF+FE

AN

=

3r

r

，
cot∠AEN=

NE

AN

=

NE+FE

AN

=

3r

r

=3，
同理：x=

2

3

r．
在△AEN中，∠ANE=90°．
cot∠AEN=

NE

AN

=

NE+FE

AN

=

1 3 r

r

=

1

3

，
∴∠AEN的余切值為3或

1

3

．