Question

如圖，在正方形ABCD中，點P在AB上從A向B運動，連接DP交AC于點Q．
（1）試證明：無論點P運動到AB上何處時，都有△ADQ≌△ABQ；
（2）當AQ=

 

AC時，△ADQ的面積是正方形ABCD面積的

1

8

．

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)正方形的四條邊都相等，對角線平分一組對角，可得AB=AD，∠DAQ=∠BAQ，而AQ是△ADQ和△ABQ的公共邊，所以兩三角形全等；
（1）如圖，過點Q作QH⊥AD于點H．根據(jù)三角形的面積公式可以求得QH=

1

4

AD．然后由平行線分線段成比例求得AQ與AC的比值．

解答：（1）證明：在△ADQ和△ABQ中，

AD=AB  ∠DAQ=∠BAQ AQ=AQ

，
∴△ADQ≌△ABQ（SAS）；

（2）如圖，過點Q作QH⊥AD于點H．則QH∥CD．
∴

HQ

CD

=

AQ

AC

．
又∵△ADQ的面積是正方形ABCD面積的

1

8

，
∴

1

2

AD•QH=

1

8

×AD•CD，
∴QH=

1

4

AD，
∴

QH

AD

=

QH

CD

=

1

4

∴

HQ

CD

=

AQ

AC

=

1

4

，即AQ=

1

4

AC．
故答案是：

1

4

．

點評：本題綜合考查了正方形的邊與角平分線的性質(zhì)，三角形全等的判定，勾股定理的運用以及平行線分線段成比例定理，對同學們能力要求較高．