Question

5．已知雙曲線y=$\frac{1}{x}$（x＞0），直線l₁：y-$\sqrt{2}$=k（x-$\sqrt{2}$）（k＜0）過定點(diǎn)F且與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂），直線l₂：y=-x+$\sqrt{2}$．
（1）若k=-1，求△OAB的面積S；
（2）若AB=$\frac{5}{2}$$\sqrt{2}$，求k的值；
（3）設(shè)N（0，2$\sqrt{2}$），P在雙曲線上，M在直線l₂上且PM∥x軸，求PM+PN最小值，并求PM+PN取得最小值時P的坐標(biāo)．（參考公式：在平面直角坐標(biāo)系中，若A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）則A，B兩點(diǎn)間的距離為AB=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$）

Answer 1

分析 （1）將l₁與y=$\frac{1}{x}$組成方程組，即可得到C點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出△OAB的面積；
（2）根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}y-\sqrt{2}=k（x-\sqrt{2}）\\ y=\frac{1}{x}\end{array}\right.$ 整理得：kx²+$\sqrt{2}$（1-k）x-1=0（k＜0），根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到2k²+5k+2=0，從而求出k的值；
（3）設(shè)P（x，$\frac{1}{x}$），則M（-$\frac{1}{x}$+$\sqrt{2}$，$\frac{1}{x}$），根據(jù)PM=PF，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）當(dāng)k=-1時，l₁：y=-x+2$\sqrt{2}$，
聯(lián)立得，$\left\{\begin{array}{l}y=-x+2\sqrt{2}\\ y=\frac{1}{x}\end{array}\right.$，化簡得x²-2$\sqrt{2}$x+1=0，
解得：x₁=$\sqrt{2}$-1，x₂=$\sqrt{2}$+1，
設(shè)直線l₁與y軸交于點(diǎn)C，則C（0，2$\sqrt{2}$）．
S_△OAB=S_△AOC-S_△BOC=$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{2}$•（x₂-x₁）=2$\sqrt{2}$；
（2）根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}y-\sqrt{2}=k（x-\sqrt{2}）\\ y=\frac{1}{x}\end{array}\right.$ 整理得：kx²+$\sqrt{2}$（1-k）x-1=0（k＜0），
∵△=[$\sqrt{2}$（1-k）]²-4×k×（-1）=2（1+k²）＞0，
∴x₁、x₂ 是方程的兩根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x}_{1}+{x}_{2}=\frac{\sqrt{2}（k-1）}{k}\\{x}_{1}•{x}_{2}=-\frac{1}{k}\end{array}\right.$，
∴AB²=（x₁-x₂）²+（$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$）2
=（x₁-x₂）²+（$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}$）²
=（x₁-x₂）²[1+（$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$）²]
=$\frac{2（1+{k}^{2}）^{2}}{{k}^{2}}$，
∴AB=-$\frac{\sqrt{2}（1+{k}^{2}）}{k}$=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，即$\frac{1+{k}^{2}}{k}$=$\frac{5}{2}$，
整理得，2k²+5k+2=0，即（2k+1）（k+2）=0，解得k=-2或k=-$\frac{1}{2}$．

（3）F（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），如圖：
設(shè)P（x，$\frac{1}{x}$），則M（-$\frac{1}{x}$+$\sqrt{2}$，$\frac{1}{x}$），
則PM=x+$\frac{1}{x}$-$\sqrt{2}$=$\sqrt{（x+\frac{1}{x}-\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}-2\sqrt{2}（x+\frac{1}{x}）+4}$，
∵PF=$\sqrt{（x-\sqrt{2}）^{2}+（\frac{1}{x}-\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}-2\sqrt{2}（x+\frac{1}{x}）+4}$，
∴PM=PF．
∴PM+PN=PF+PN≥NF=2，
當(dāng)點(diǎn)P在NF上時等號成立，此時NF的方程為y=-x+2$\sqrt{2}$，
由（1）知P（$\sqrt{2}$-1，$\sqrt{2}$+1），
∴當(dāng)P（$\sqrt{2}$-1，$\sqrt{2}$+1）時，PM+PN最小值是2．

點(diǎn)評 本題考查了反比例函數(shù)綜合題，涉及函數(shù)圖象的交點(diǎn)與方程組的解的關(guān)系、三角形的面積、一元二次方程根的判別式、一元二次方程的解法、兩點(diǎn)間的距離公式的等知識，綜合性較強(qiáng)．