Question

11．如圖，將拋物線y=（x-1）² 的圖象位于直線y=4以上的部分向下翻折，得到新的圖象（實(shí)線部分），若直線y=-x+m與新圖象只有四個(gè)交點(diǎn)，求m的取值范圍．（　�。�

• A． $\frac{3}{4}$＜m＜3
• B． $\frac{3}{4}$＜m＜7
• C． $\frac{4}{3}$＜m＜7
• D． $\frac{4}{3}$＜m＜3

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)圖象，可發(fā)現(xiàn)，若直線與新函數(shù)有3個(gè)交點(diǎn)，可以有兩種情況：
①直線經(jīng)過點(diǎn)A（即左邊的對(duì)折點(diǎn)），可將A點(diǎn)坐標(biāo)代入直線的解析式中，即可求出m的值；
②若直線與新函數(shù)圖象有三個(gè)交點(diǎn)，那么當(dāng)直線與該二次函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，恰好滿足這一條件，那么聯(lián)立直線與該二次函數(shù)的解析式，可化為一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，那么該方程的判別式△=0，根據(jù)這一條件可確定m的取值．

解答 解：令y=4，則4=（x-1）²，
解得x=3或-1，
∴A（-1，4），
平移直線y=-x+m知：直線位于l₁和l₂時(shí)，它與新圖象有三個(gè)不同的公共點(diǎn)．
①當(dāng)直線位于l₁時(shí)，此時(shí)l₁過點(diǎn)A（-1，4），
∴4=1+m，即m=3．                    
②當(dāng)直線位于l₂時(shí)，此時(shí)l₂與函數(shù)y=（x-1）² 的圖象有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴方程-x+m=x²-2x+1，
即x²-x+1-m=0有兩個(gè)相等實(shí)根，
∴△=1-4（1-m）=0，
即m=$\frac{3}{4}$．                                
由①②知若直線y=-x+m與新圖象只有四個(gè)交點(diǎn)，m的取值范圍為$\frac{3}{4}$＜m＜3；
故選A．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換、一次函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象交點(diǎn)以及根據(jù)值域確定二次函數(shù)參數(shù)取值范圍的問題，綜合性強(qiáng)，難度較大．