Question

如圖，四邊形ABCD是正方形，點N是CD的中點，M是AD邊上不同于點A、D的點，若

AM

BM

=

10

10

，求證：∠NMB=∠MBC．

Answer 1

分析：分別延長BC、MN相交于點E，設AM=1，根據

AM

BM

=

10

10

，求出BM=

10

，則AB=

BM2-AM2

=3；所以DM=AD-AM=2，利用Rt△DMN可求得，MN=

5

2

，根據△MDN≌△ECN（ASA），可求得CE=MD=2、NE=MN=

5

2

，ME=MN+NE=5、BE=BC+CE=5，所以ME=BE即∠NMB=∠MBC．

解答：證明：證法一：如圖，
分別延長BC、MN相交于點E，
設AM=1，
∵

AM

BM

=

10

10

，
∴BM=

10

，
∴AB=

BM2-AM2

=3，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴DM=AD-AM=2，且DN=CN=

1

2

DC=

3

2

，
在Rt△DMN中，MN=

MD2+DN2

=

5

2

，
又∵∠MDN=∠ECN=90°，∠MND=∠ENC，
∴△MDN≌△ECN（ASA），
∴CE=MD=2，NE=MN=

5

2

，
∴ME=MN+NE=5，BE=BC+CE=5，
∴ME=BE，
∴∠NMB=∠MBC；

證法二：設AM=1，同證法一MN=

MD2+DN2

=

5

2

；
如圖，
將△ABM繞點A順時針旋轉90°得到△BCE，連接ME，
∵∠BCE=∠BCD=90°，
∴∠NCE是平角，即點N、C、E三點共線，
∴∠BMA=∠BECCE=AM=1、BE=BM，
∴∠BME=∠BEM，
∵NE=CN+CE=

3

2

+1=

5

2

=MN，
∴∠NME=∠NEM，
∴∠BME+∠NME=∠BEM+∠NEM，
∴∠BMN=∠BEC=∠AMB，
又∵∠AMB=∠MBC，
∴∠BMN=∠MBC．

點評：主要考查了正方形的性質和利用等腰三角形的性質來求證等角的方法．要掌握正方形中一些特殊的性質：四邊相等，四角相等，對角線相等且互相平分．分別求出BE，ME的長度是解題的關鍵．