Question

2．己知：如圖△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為直徑，∠CBA的平分線交AC于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E，且交AC于點(diǎn)P，連結(jié)AD．
（1）求證：∠DAC=∠DBA；
（2）當(dāng)AD=3，BD=4時(shí)，求⊙O的半徑及DE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）利用角平分線的性質(zhì)得出∠CBD=∠DBA，進(jìn)而得出∠DAC=∠DBA；
（2）利用勾股定理得出AB的長(zhǎng)，再利用三角形面積求出DE即可．

解答 （1）證明：∵BD平分∠CBA，
∴∠CBD=∠DBA，
∵∠DAC與∠CBD都是弧CD所對(duì)的圓周角，
∴∠DAC=∠CBD，
∴∠DAC=∠DBA；

（2）解：連接CD，
∵∠CBD=∠DBA，
∴CD=AD，
∵CD﹦3，
∴AD=3，
∵∠ADB=90°，
∴AB=5，
故⊙O的半徑為2.5，
∵DE×AB=AD×BD，
∴5DE=3×4，
∴DE=2.4，即DE的長(zhǎng)為2.4．

點(diǎn)評(píng) 此題考查的是三角形的外接圓與外心及圓周角定理和勾股定理以及三角形面積等知識(shí)，熟練利用圓周角定理得出各等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．