Question

（1）如圖1，已知AB是⊙O的直徑，弦CD丄AB于E，AC=8，CD=6，求cos∠ABC的值．

（2）如圖，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45^s，AC=2

3

，求AB的長．

Answer 1

考點(diǎn)：垂徑定理,圓周角定理,解直角三角形

專題：計(jì)算題

分析：（1）根據(jù)垂徑定理由CD丄AB得CE=

1

2

CD=3，則根據(jù)余弦定義得cos∠ACE=

3

8

，再根據(jù)圓周角定理由AB是⊙O的直徑得到∠ACB=90°，然后根據(jù)等角的余角相等得到∠B=∠ACE，所以cos∠ABC=

3

8

；
（2）作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得CD=

1

2

AC=

3

，AD=

3

CD=3，在Rt△BCD中，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得∴BD=CD=

3

，于是得到AB=AD+BD=3+

3

．

解答：解：（1）∵CD丄AB，
∴CE=DE=

1

2

CD=

1

2

×6=3，
∴cos∠ACE=

CE

AC

=

3

8

，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠B+∠A=90°，
而∠ACE+∠A=90°，
∴∠B=∠ACE，
∴cos∠ABC=

3

8

；
（2）作CD⊥AB于D，如圖2，
在Rt△ACD中，AC=2

3

，∠A=30°，
∴CD=

1

2

AC=

3

，
AD=

3

CD=3，
在Rt△BCD中，∠B=45°，
∴BD=CD=

3

，
∴AB=AD+BD=3+

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條�。�也考查了圓周角定理和解直角三角形．