Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，DA⊥AB，CD=3，AB=4，AD=12，在AD上能否找到一點(diǎn)P，使△PAB和△PCD相似？若能，共有幾個符合條件的點(diǎn)P？并求相應(yīng)PD的長．若不能，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定

專題：計(jì)算題

分析：由DC與AB平行，且DA垂直于AB，得到一對直角相等，設(shè)DP=x，則有PA=AD-DP=12-x，分兩種情況考慮：當(dāng)∠DCP=∠PAB時，△CDP∽△PAB；當(dāng)∠DCP=∠ABP時，△CDP∽△BAP，利用相似得比例，求出x的值，即為DP的長．

解答：解：∵AB∥CD，DA⊥AB，
∴∠A=∠D=90°，
設(shè)DP=x，則有PA=AD-DP=12-x，
當(dāng)∠DCP=∠PAB時，△CDP∽△PAB，
此時

CD

PA

=

DP

AB

，即

3

12-x

=

x

4

，
整理得：x²-12x+12=0，
解得：x=

12± 144-48

2

=6±2

6

，
此時滿足題意的P點(diǎn)有兩個，即DP=6+2

6

或6-2

6

；
當(dāng)∠DCP=∠ABP時，△CDP∽△BAP，
此時

CD

AB

=

DP

AP

，即

3

4

=

x

12-x

，
整理得：36-3x=4x，
解得：x=

36

7

，
此時滿足題意P點(diǎn)有一個，即DP=

36

7

．
綜上，滿足題意的P點(diǎn)有三個，DP=6+2

6

或6-2

6

或

36

7

．

點(diǎn)評：此題考查了相似三角形的判定，利用了分類討論的思想，熟練掌握相似三角形的判定方法是解本題的關(guān)鍵．