Question

如圖線段AB在x軸上，以AB為直徑的圓交y軸于點C，己知AC=2

5

，BC=

5

．
（1）求點A、B、C三點的坐標；
（2）設過A、B、C三點的拋物線的頂點為D，求四邊形ABCD的面積：
（3）求該拋物線與圓的另一個交點坐標．

Answer 1

分析：（1）利用勾股定理和三角形相似的性質解決問題；
（2）求出函數(shù)解析式，得出頂點坐標，分割圖形，利用梯形的面積與三角形的面積即可解答問題；
（3）利用二次函數(shù)圖象上點的對成性解答即可．

解答：解：（1）因為AB為直徑，所以∠ACB=90°，
在直角三角形ABC中，AB=

AC2+BC2

=

(2 5 )2+( 5 )2

=5，
∵△BOC∽△BCA，
∴

BC

BO

=

AB

BC

，
∴BO=

BC2

AB

=

5 2

5

=1，AO=4，
又∵△AOC∽△COB，

OC

OB

=

OA

OC

，
即

OC

4

=

1

OC

，
解得OC=2，
由此可知點A、B、C三點的坐標分別為（-4，0），（1，0），（0，2）；

（2）設拋物線解析式為y=ax²+bx+c，把A、B、C三點代入解析式得，

16a-4b+c=0 a+b+c=0 c=2

，
解得

a=- 1 2 b=- 3 2 c=2

，
所以函數(shù)解析式為y=-

1

2

x²-

3

2

x+2，
頂點坐標D為（-

3

2

，

25

8

）；
過點D作DE垂直于AB，垂足為E，如圖：
S_{四邊形ABCD}=S_△ADE+S_梯形CDEO+S_△BOC，
=

1

2

×（4-

3

2

）×

25

8

+

1

2

×（

25

8

+2）×

3

2

+

1

2

×1×2，
=

35

4

；

（3）由上圖可知，拋物線與圓的另一個交點F與點C是對稱點，
所以點F的坐標為（-3，2）．

點評：此題綜合考查了勾股定理，三角形相似的性質，組合圖形的面積，二次函數(shù)對稱性，以及待定系數(shù)法球函數(shù)解析式．