Question

13．已知：O為直線AB上的一點，射線OA表示北方向，射線OC在北偏東m°的方向，射線OE在南偏東n°的方向，射線OF平分∠AOE，且2m+2n=180．
（1）如圖，∠COE=90°，∠COF和∠BOE之間的數(shù)量關系為∠BOE=2∠COF．
（2）若將∠COE繞點O旋轉至圖2的位置，射線OF仍然平分∠AOE時，試問（1）中∠BOE和∠COF之間的數(shù)量關系？請說明理由．
（3）若將∠COE繞點O旋轉至圖3的位置，射線OF仍然平分∠AOE時，則∠BOE和∠COF之間的數(shù)量關系發(fā)生變化嗎？如不變化，說明理由，如變化，寫出新的數(shù)量關系并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)方向角的定義，以及∠COE=180-m-n，即可根據(jù)角的和差關系進行求解；
（2）根據(jù)∠COF=90°-∠EOF，∠EOF=$\frac{1}{2}$∠AOE=$\frac{1}{2}$（180°-∠DOE）=$\frac{1}{2}$∠BOE即可證得；
（3）根據(jù)角的和差，以及角平分線的定義即可求得∠BOE和∠COF之間的數(shù)量關系．

解答 解：（1）如圖1，∵2m+2n=180，
∴m+n=90，
∵∠COE=180°-∠AOC-∠BOE=180°-m°-n°=90°；
∵射線OF平分∠AOE，
∴∠AOF=$\frac{1}{2}$（180°-∠BOE）=$\frac{1}{2}$（180°-n°），
∴∠COF=$\frac{1}{2}$（180°-n°）-m°，
由m+n=90可知，m=90-n，
∴∠COF=$\frac{1}{2}$（180°-n°）-m°=$\frac{1}{2}$（180°-n°）-90°+n°=$\frac{1}{2}$n°，
∴∠BOE=2∠COF．
故答案為：90，∠BOE=2∠COF；

（2）∠BOE和∠COF之間的數(shù)量關系不發(fā)生變化．
證明如下：如圖2，∵∠COE=90°
∴∠COF=90°-∠EOF
=90°-$\frac{1}{2}$∠AOE
=90°-$\frac{1}{2}$（180°-∠BOE）
=90°-90°+$\frac{1}{2}$∠BOE
=$\frac{1}{2}$∠BOE
∴∠BOE=2∠COF；

（3）∠BOE+2∠COF=360°．
理由：如圖3，∵∠COF=∠COE+∠EOF=90°+∠EOF，
∠BOE=∠COB+∠COE=90°+∠EOF，
∴∠BOE+∠COF=180°+2∠EOF，
又∵∠AOE=2∠EOF，
∴∠BOE+∠COF=180°+∠AOE，
∴∠BOE+2∠COF=360°．

點評 本題主要考查了方向角的定義，以及角平分線的定義的運用，對定義的熟練掌握是解題的關鍵．解題時注意角的和差關系的運用．