Question

已知如圖，拋物線y=ax²+bx+c與x軸相交于B（1，0）、C（4，0）兩點，與y軸的正半軸相交于A點，過A、B、C三點的⊙P與y軸相切于點A．M為y軸負半軸上的一個動點，直線MB交⊙P于點D，交拋物線于點N．
（1）請求出點A坐標和⊙P的半徑；
（2）請確定拋物線的解析式；
（3）若S_△BNC：S_△AOB=15：2，求N點坐標；
（4）若△AOB與以A、B、D為頂點的三角形相似，求MB•MD的值．（先畫出符合題意的示意圖再求解）

Answer 1

解：（1）A點坐標是（0，2），⊙P的半徑長為；

（2）拋物線的解析式是：y=x²-x+2；

（3）設N點坐標為（x₀，y₀），
由題意有BC•|y₀|=OA•OB×
∴×3y₀=×2×1×
解得y₀=5
∵N點在拋物線上
∴x₀²-x₀+2=5
解得x₀=6或x₀=-1（不合題意，舍去）
∴N點的坐標為（6，5）；

（4）根據題意∠OAB=∠ADB，
所以△AOB和△ABD相似有兩種情況
①∠ABD和∠AOB對應，此時AD是⊙P的直徑
則AB=，AD=5
∴BD=2
∵Rt△AMB∽Rt△DAB
∴MA：AD=AB：BD即MA=
∵Rt△AMB∽Rt△DMA
∴MA：MD=MB：MA
即MB•MD=MA²=．
②∠BAD和∠AOB對應，此時BD是⊙P的直徑，
所以直線MB過P點
∵B（1，0），P（，2）
∴直線MB的解析式是：y=x-
∴M點的坐標為（0，-）
∴AM=
由△MAB∽△MDA得MA：MD=MB：MA
∴MB•MD=MA²=．
分析：（1）根據圓和拋物線的對稱性可知：點P必在拋物線的對稱軸上，根據B、C的坐標可求出拋物線對稱軸的解析式即可得出圓P的半徑，連接PB，設拋物線對稱軸與x軸交于Q，那么PQ⊥x軸，且PQ=OA，已知了圓的半徑和BC的長，即可在直角三角形PBQ中求出PQ即OA的長，也就得出了A點坐標；
（2）將A、B、C三點坐標代入拋物線中即可求出二次函數的解析式；
（3）先求出三角形AOB的面積，再根據題中給出的兩三角形的面積比得出三角形BCN的面積，BC長為定值，可求出N點縱坐標的絕對值，將其代入拋物線的解析式中即可求出N點的坐標；（由于N是直線BM與拋物線的交點，且M在y軸負半軸，因此N點必在第一象限，據此可將不符合條件的N點坐標舍去）
（4）根據弦切角定理可知：∠OAB=∠ADB，因此本題可分兩種情況：
①∠ABD=∠AOB=90°時，此時MD⊥AB，且AD是圓P的直徑，可根據相似三角形AMB和DMA得出的關于MA、AD、AB、BD的對應成比例線段求出MA的長，然后根據切割線定理可得出MB•MD=MA2，即可得出所求的值．
②∠BAD=∠AOB=90°時，思路同①也是先求出MA的長，可根據直線MB的解析式求出M點坐標，然后通過相似三角形MAB和MDA（一個公共角，∠MBA和∠DAO都是90°加上一個等角）求出MA的長．后面同①．
點評：本題考查了二次函數解析式的確定、圖形面積的求法、圓周角定理、切線的性質、相似三角形的判定和性質等知識點．（4）題中，要根據相似三角形對應邊和對應角的不同分類討論，不要漏解．