Question

【題目】已知，，為正整數(shù)，．設(shè)，，，為坐標(biāo)原點(diǎn)．若，且．

（1）求圖象經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式；

（2）點(diǎn)是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，直線交線段于點(diǎn)，若，的面積，滿足，求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）由射影定理得到，即，然后代入到已知條件中得到，然后利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求得，．利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；

（2）由得，從而確定Q點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求得直線AQ的解析式，然后聯(lián)立方程組求點(diǎn)D坐標(biāo)．

解：（1）∵，，∴，即．

∵，

∴．

又∵

，

∴，即．

∵，，

∴，是關(guān)于的一元二次方程①的兩個(gè)不相等的正整數(shù)根，

∴，解得．

又∵為正整數(shù)，故或．

當(dāng)時(shí)，方程①為，沒(méi)有整數(shù)解．

當(dāng)時(shí)，方程①為，兩根為，．

綜合知：，，．

設(shè)圖象經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式為，

將點(diǎn)的坐標(biāo)代入得，解得．

∴圖象經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式為．

（2）如圖，直線交線段于點(diǎn)，由，得，

∴，，∴，∵，

設(shè)直線AQ的解析式為y=kx+b

可得解得

∴直線AQ的解析式為：，

聯(lián)立，

消去整理可得，，

由韋達(dá)定理：，而，

∴，∴，

∴點(diǎn)坐標(biāo)為：．