Question

已知直線y=kx-4（k＞0）與x軸和y軸分別交于A、C兩點；開口向上的拋物線y=ax²+bx+c過A、C兩點，且與x軸交于另一點B．
（1）如果A、B兩點到原點O的距離AO、BO滿足AO=3BO，點B到直線AC的距離等于，求這條直線和拋物線的解析式．
（2）問是否存在這樣的拋物線，使得tan∠ACB=2，且△ABC的外接圓截y軸所得的弦長等于5？若存在，求出這樣的拋物線的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）易知：A（，0），
因此OA=，OB=，B（-，0），
∴AB=，
過B作BE⊥AC于E，交y軸于D，在直角三角形ABE中，
AE==．
根據(jù)直線AC的斜率可知：直角三角形ABE中，tan∠BAE=k，
因此AE==，即：
=，
解得k=（負值舍去）．
∴直線的解析式為y=x-4．
∴A（3，0），B（-1，0）
設拋物線的解析式為y=a（x-3）（x+1），
由于拋物線過C（0，-4），
則有：a（0-3）（0+1）=-4，a=，
∴拋物線的解析式為y=x²-x-4．

（2）假設存在這樣的拋物線，其解析式為y=ax²+bx-4．
設△ABC的外接圓圓心為P，連AP、BP，過P作PE⊥x軸于E，PF⊥y軸于F．
∵圓P截y軸所得弦長為5，且過點A、B及C（0，-4）．
∴圓P過點D（0，1）
∴P點在x軸下方，
∴CF=DF=，PE=OF=4-=．
∵∠APE=∠APB=∠ACB，
∴tan∠APE==tan∠ACB=2，
∴AE=2PE=3，
∴AB=2AE=6，
∵OA•OB=OC•OD，即-x₁x₂=4．
∴=4，a=1．
∴拋物線的解析式為y=x²+bx-4．
∵AB=6，
∴x₁-x₂=6．
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=b²+16=36．
∴b=±2．
∴存在這樣的拋物線y=x²±2x-4．
分析：（1）本題可通過構建直角三角形求解，過B作BE⊥AC于E，交y軸于D，可根據(jù)直線的解析式用k表示出OA、OB的長，即可得出AB的長，已知了BE的長度，可用勾股定理求出AE的長；
AE長的另一種表示方法：在直角三角形ABE中，∠BAE的正弦值正好是斜率k，因此可用∠BAE的正弦值即k和BE的長表示出AE，然后聯(lián)立兩個AE的表達式即可求出k的值．進而可求出直線的解析式和拋物線的解析式．
（2）已知了C點坐標，關鍵是確定拋物線的二次項系數(shù)和一次項系數(shù)．可用韋達定理來求解．已知了三角形ABC的外接圓（設圓心為P）截y軸的弦長為5，那么OD=1，根據(jù)相交弦定理可求出OA•OB的值，即可得出韋達定理中兩根積的值，即可求出二次項系數(shù)的值．連AP、BP，過P作PE⊥x軸于E，PF⊥y軸于F．
根據(jù)垂徑定理和圓周角定理不難得出∠ACB=∠APE，那么tan∠APE=2，據(jù)此可求出AE和AB的長，即可得出A、B橫坐標差的絕對值，由此可求出一次項系數(shù)的值，即可確定拋物線的解析式．
點評：本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定，綜合考查了一次函數(shù)的應用、三角形的外接圓等知識點，綜合性強，難度較大．