Question

8．如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)F在⊙O上，且點(diǎn)C是$\widehat{BF}$的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，交AF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．
（1）求證：AE⊥DE；
（2）若∠BAF=60°，AF=4，求CE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接OC，如圖，利用切線的性質(zhì)得OC⊥DE，再利用圓周角定理得到∠BAC=∠EAC，加上∠BAC=∠OCA，所以∠EAC=∠OCA．則OC∥AE，從而得到AE⊥DE；
（2）連接BF交OC于G，如圖，利用圓周角定理得到∴∠BFA=90°．易得四邊形CEFG是矩形．則CO⊥BF，CF=GF，利用垂徑定理得到BG=GF，再在Rt△ABF中利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到BF=$\sqrt{3}$AF=4$\sqrt{3}$，則BG=GF=2$\sqrt{3}$，從而得到CE的長(zhǎng)．

解答 （1）證明：連接OC，如圖，
∵DE切⊙O于C，
∴OC⊥DE，
∵點(diǎn)C是$\widehat{BF}$的中點(diǎn)，
∴∠BAC=∠EAC，
∵OC=OA，
∴∠BAC=∠OCA，
∴∠EAC=∠OCA．
∴OC∥AE．
∴AE⊥DE；
（2）解：連接BF交OC于G，如圖，
∵AB是⊙O直徑，
∴∠BFA=90°．
易得四邊形CEFG是矩形．
∴CO⊥BF，CF=GF，
∴BG=GF，
在Rt△ABF中，∠BAE=60°，AF=4，
∴BF=$\sqrt{3}$AF=4$\sqrt{3}$，
∴BG=GF=2$\sqrt{3}$
∴CE=2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過(guò)切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．也考查了圓周角定理．