Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A（1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，且過點(diǎn)（-1，16），拋物線的頂點(diǎn)是點(diǎn)C，對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)D，原點(diǎn)為點(diǎn)O．在y軸的正半軸上有一動(dòng)點(diǎn)N，使以A、O、N這三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以C、A、D這三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似．求：
（1）這條拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）把點(diǎn)A、B和（-1，16）三點(diǎn)代入拋物線解析式求出a、b、c的值，即可得解；
（2）把拋物線解析式整理成頂點(diǎn)式形式，然后求出頂點(diǎn)C和點(diǎn)D的坐標(biāo)，從而求出AD、CD的長，再分ON和DC是對(duì)應(yīng)邊，ON和DA是對(duì)應(yīng)邊兩種情況，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出ON的長，再寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），B（3，0），（-1，16），
∴

a+b+c=0 9a+3b+c=0 a-b+c=16

，
解得

a=2 b=-8 c=6

，
∴拋物線的解析式為y=2x²-8x+6；

（2）∵y=2x²-8x+6=2（x-2）²-2，
∴頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，-2），
點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，0），
∴CD=2，
∵A（1，0），
∴AD=2-1=1，
①ON和DC是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，△AON∽△ADC，
∴

ON

DC

=

AO

AD

，
即

ON

2

=

1

1

，
解得ON=2，
∴點(diǎn)N（0，2）；
②ON和DA是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，△AON∽△CDA，
∴

ON

DA

=

AO

CD

，
即

ON

1

=

1

2

，
解得ON=

1

2

，
∴點(diǎn)N（0，

1

2

），
綜上所述，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0，2）或（0，

1

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，難點(diǎn)在于（2）要分情況討論．