Question

（2011•攀枝花）如圖，已知二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1，且與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，其中一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0）．
（1）求二次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）在拋物線上有一點(diǎn)A，其橫坐標(biāo)為﹣2，直線l過(guò)點(diǎn)A并繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)是點(diǎn)B，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)滿足﹣2＜x_B＜，當(dāng)△AOB的面積最大時(shí)，求出此時(shí)直線l的關(guān)系式；
（3）拋物線上是否存在點(diǎn)C使△AOC的面積與（2）中△AOB的最大面積相等．若存在，求出點(diǎn)C的橫坐標(biāo)；若不存在說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）二次函數(shù)y=x²+bx+c圖象的對(duì)稱(chēng)軸是直線x=1，且過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），
代入得：﹣=1，1﹣b+c=0，
解得：b=﹣2，c=﹣3，
所以二次函數(shù)的關(guān)系式為：y=x²﹣2x﹣3；
（2）拋物線與y軸交點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，），
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+m，
∴，
∴，
∴直線AB的解析式為y=x﹣．
∵P為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x﹣）．（0＜x＜3）
由題意可知PE∥y軸，∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x²﹣x﹣），
∵0＜x＜3，
∴PE=（x﹣）﹣（x²﹣x﹣）=﹣x²+x，
（3）由題意可知D點(diǎn)橫坐標(biāo)為x=1，又D點(diǎn)在直線AB上，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)（1，﹣1）．

①當(dāng)∠EDP=90°時(shí)，△AOB∽△EDP，
∴．
過(guò)點(diǎn)D作DQ⊥PE于Q，
∴x_Q=x_P=x，y_Q=﹣1，
∴△DQP∽△AOB∽△EDP，
∴，
又OA=3，OB=，AB=，
又DQ=x﹣1，
∴DP=（x﹣1），
∴，
解得：x=﹣1±（負(fù)值舍去）．
∴P（﹣1，）（如圖中的P₁點(diǎn)）；
②當(dāng)∠DEP=90°時(shí)，△AOB∽△DEP，
∴．
由（2）PE=﹣x²+x，DE=x﹣1，
∴，
解得：x=1±，（負(fù)值舍去）．
∴P（1+，﹣1）（如圖中的P₂點(diǎn)）；
綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，）或（1+，﹣1）．

解析