Question

如圖①，矩形紙片ABCD的邊長分別為a、b（a＜b），點M、N分別為邊AD、BC上兩點(點A、C除外)，連結(jié)MN.

（1）如圖②，分別沿ME、NF將MN兩側(cè)紙片折疊，使點A、C分別落在MN上的A’、C’處，直接寫出ME與FN的位置關(guān)系；

（2）如圖③，當MN⊥BC時，仍按（1）中的方式折疊，請求出四邊形A’EBN與四邊形C’FDM

的周長（用含a的代數(shù)式表示），并判斷四邊形A’EBN與四邊形C’FDM周長之間的數(shù)量關(guān)系；

（3）如圖④，若對角線BD與MN交于點O，分別沿BM、DN沿ME、NF將MN兩側(cè)紙片折疊，折疊后，點A、C恰好都落在點O處，并且得到的四邊形BNDM是菱形，請你探索a、b之間的數(shù)量關(guān)系；

（4）在（3）情況下，當a=時，求菱形BNDM的面積.

 

Answer 1

 

（1）平行

（2）相等

（3）

（4）

解析:(1) ME∥FN     ………………2分

(2) ∵由折疊得知：A’E=AE， 四邊形A’EBN是矩形，

∴四邊形A’EBN的周長=2（A’E＋EB）=2（AE＋EB）=2AB=2a，…3分

同理，四邊形C’FDM的周長=2a，

      ∴四邊形A’EBN的周長=四邊形C’FDM的周長  ………………4分

(3) ∵△OND是由△CND折疊得到的，

    ∴OD=CD=a,                                   

      同理，OB=a,

    ∴BD=2a      ………………6分

      在△BCD中，∠C=90°，由勾股定理得，

      BC2＋CD2=BD2，

    ∴b2＋a2=(2a)2

∴.     ………………7分

（4）當a=時，CD=，BC=3

在菱形BNDM中，DN=BN

        設(shè)DN=BN=x,則CN=3－x .在△DCN中，∠C=90°，由勾股定理得，

NC2＋CD2=ND2，  ………………8分

               ∴，

解得，，

        ∴ 菱形BNDM的面積= ………………9分.

 (其它解法可自行參照上述標準給分)