Question

6．如圖，四邊形ABCD為一個(gè)矩形紙片，AB=3，BC=2，動(dòng)點(diǎn)P自D點(diǎn)出發(fā)沿DC方向運(yùn)動(dòng)至C點(diǎn)后停止，△ADP以直線AP為軸翻折，點(diǎn)D落在點(diǎn)D₁的位置．設(shè)DP=x，△AD₁P與原紙片重疊部分的面積為y．
（1）當(dāng)x為何值時(shí)，直線AD₁過點(diǎn)C？
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，直線AD₁過BC的中點(diǎn)E？
（3）求出y與x的函數(shù)表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)折疊得出AD=AD₁=2，PD=PD₁=x，∠D=∠AD₁P=90°，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理求出AC，在Rt△PCD₁中，根據(jù)勾股定理得出方程，求出即可；
（2）連接PE，求出BE=CE=1，在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理求出AE，求出AD₁=AD=2，PD=PD₁=x，D₁E=$\sqrt{10}$-2，PC=3-x，在Rt△PD₁E和Rt△PCE中，根據(jù)勾股定理得出方程，求出即可；
（3）分為兩種情況：當(dāng)0＜x≤2時(shí)，y=x；當(dāng)2＜x≤3時(shí)，點(diǎn)D₁在矩形ABCD的外部，PD₁交AB于F，求出AF=PF，作PG⊥AB于G，設(shè)PF=AF=a，在Rt△PFG中，由勾股定理得出方程（x-a）²+2²=a²，求出a即可．

解答 解：（1）

如圖1，∵由題意得：△ADP≌△AD₁P，
∴AD=AD₁=2，PD=PD₁=x，∠D=∠AD₁P=90°，
∵直線AD₁過C，
∴PD₁⊥AC，
在Rt△ABC中，AC=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，CD₁=$\sqrt{13}$-2，
在Rt△PCD₁中，PC²=PD₁²+CD₁²，
即（3-x）²=x²+（$\sqrt{13}$-2）²，
解得：x=$\frac{2\sqrt{13}-4}{3}$，
∴當(dāng)x=$\frac{2\sqrt{13}-4}{3}$時(shí)，直線AD₁過點(diǎn)C；

（2）如圖2，

連接PE，
∵E為BC的中點(diǎn)，
∴BE=CE=1，
在Rt△ABE中，AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∵AD₁=AD=2，PD=PD₁=x，
∴D₁E=$\sqrt{10}$-2，PC=3-x，
在Rt△PD₁E和Rt△PCE中，
x²+（$\sqrt{10}$-2）²=（3-x）²+1²，
解得：x=$\frac{2\sqrt{10}-2}{3}$，
∴當(dāng)x=$\frac{2\sqrt{10}-2}{3}$時(shí)，直線AD₁過BC的中點(diǎn)E；


（3）如圖3，

當(dāng)0＜x≤2時(shí)，y=x，
如圖4，

當(dāng)2＜x≤3時(shí)，點(diǎn)D₁在矩形ABCD的外部，PD₁交AB于F，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠2，
∵∠1=∠3（根據(jù)折疊），
∴∠2=∠3，
∴AF=PF，
作PG⊥AB于G，
設(shè)PF=AF=a，
由題意得：AG=DP=x，F(xiàn)G=x-a，
在Rt△PFG中，由勾股定理得：（x-a）²+2²=a²，
解得：a=$\frac{4+{x}^{2}}{2x}$，
所以y=$\frac{1}{2}×2×\frac{4+{x}^{2}}{2x}$=$\frac{{x}^{2}+4}{2x}$，
綜合上述，當(dāng)0＜x≤2時(shí)，y=x；當(dāng)2＜x≤3時(shí)，y=$\frac{{x}^{2}+4}{2x}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了勾股定理，折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，能綜合運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行推理和計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，用了分類推理思想．