Question

如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（6，6）、B（12，O）、M（3，0），∠MAN=45゜．
（1）判斷△AOB的形狀為______；
（2）求線段AN的長；
（3）如圖②，若C（-3，O），在y 軸的負(fù)半軸上是否存在一點P，使∠NPO=2∠CPO？若存在，求點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）過點A作AH⊥OB，垂足為H，
∵A（6，6），
∴OH=6，
∵B（12，O），
∴HB=6，
∴AO=AB，
∵∠MAN=45゜，
∴∠ABO=45°，
∴∠OAB=90°，
∴△AOB的形狀為等腰直角三角形；
故答案為：等腰直角三角形；
（2）作∠NAE=∠NAM=45°，使點E與M在AN兩側(cè)，連接BE，NE，使AE=AM，
∵∠MAE=∠OAB=90°，
∴∠BAE=∠OAM，
∵AB=AO，
∴△BAE≌△OAM，
∴BE=OM=3，NE=MN，∠ABE=∠AOM=45°，
∴∠NBE=90°，
∴BN²+BE²=NE²，
設(shè)BN=x，則NE=MN=OB-OM-NB=12-x-3=9-x，
∴x²+3²=（9-x）²，
∴x=4，
∴ON=8，
∴HN=ON-OH=8-6=2，
∴AN===2；
（3）連接PM，作MK垂直PN于K，
∵OM=OC=3，
∴PO垂直平分CM，
∴PC=PM，∠MPO=∠CPO，
∵∠NPO=2∠CPO，
∴∠NPO=2∠MPO，
∴∠NPM=∠MPO，
∴MK=MO=3，
∵S_△NPM：S_△MPO=PN：PO，
S_△NPM：S_△MPO=NM：OM=5：3，
∴PN：PO=NM：OM=5：3，
設(shè)PN=5t，
則PO=3t，
則8²+（3t）²=（5t）²，
解得：t=2，
則OP=6，
則點P為（0，-6）．
分析：（1）過點A作AH⊥OB，垂足為H，求出OH=6，HB=6，AO=AB，再根據(jù)∠MAN=45゜，∠ABO=45°，得出∠OAB=90°，即可判斷出△AOB的形狀為等腰直角三角形；
（2）作∠NAE=∠NAM=45°，使點E與M在AN兩側(cè)，連接BE，NE，使AE=AM，先證出△BAE≌△OAM，得出BE=OM=3，NE=MN，∠ABE=∠AOM=45°，∠NBE=90°，BN²+BE²=NE²，再設(shè)BN=x，則NE=9-x，從而得出x²+3²=（9-x）²，最后根據(jù)AN=代入計算即可；
（3）連接PM，作MK垂直PN于K，則PO垂直平分CM，得出PC=PM，∠MPO=∠CPO，再證出∠NPM=∠MPO，則MK=MO=3，再根據(jù)S_△NPM：S_△MPO=PN：PO=NM：OM=5：3，設(shè)PN=5t，則PO=3t，
得出8²+（3t）²=（5t）²，求出t的值即可得出點P的坐標(biāo)．
點評：此題考查了等腰直角三角形、勾股定理，用到的知識點是等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，角平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是運用有關(guān)性質(zhì)和定理，求出線段的長度，得出點的坐標(biāo)．